Oi, Rafael: > > Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana > AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que > esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo > A. Demonstrar: > i. a²= 4bc ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2 > > Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da > bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum > resultado. Se alguém puder me dar uma dica... > ABC nao pode ser isosceles, pois nesse caso teriamos AM perpendicular a BC e coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB < AC ==> c < b. Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC.
AM eh mediana ==> BM = MC = a/2 AP eh bissetriz interna ==> CP/BP = AC/AB ==> CP/BP = b/c Como BP + PC = BC = a, teremos: CP = a*b/(b+c); BP = a*c/(b+c) PAM = PMA ==> Triângulo APM é isósceles ==> AP = PM Levando em conta que BP + PM = BM = a/2, teremos: a*c/(b+c) + PM = a/2 ==> PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP Agora vamos aplicar o teorema de Stewart: Primeiro em relacao a bissetriz AP: BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ==> a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) = = b^2*a*c/(b+c) + c^2*a*b/(b+c) ==> (simplificando tudo) a^2 = 4*b*c Em seguida, em relacao a mediana AM: BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==> a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2 ==> m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==> m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==> (levando em conta que a^2 = 4*b*c) m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==> m^2 = (b - c)^2/2 ==> m = (b - c)/raiz(2) Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================