Oi, Marcio: Sobre esse seu problema:
Sejam varias seqs de termos positivos (a), (b), (c), ...e considere as somas do tipo S = a_1*b_1*c_1*... +a_2*b_2*c_2* ... + ... a_n*b_n*c_n*... onde (a_i) eh uma permutacao da 1a sequencia, (b_i) uma permutacao da 2a, e assim por diante. Mostre que S é máxima quando as sequencias tem a mesma ordenacao. O caso com 2 sequencias eh o que se conhece como "desigualdade do rearranjo" ----------- Note que esse teorema eh bem interessante. Por exemplo, ele implica MA >= MG em particular... Basta analisar as sequencias: (a1,a2,a3,...,an) => (a1,a2,a3,...,an) (a1,a2,a3,...,an) => (a2, a3, ...,an, a1) (a1,a2,a3,...,an) => (a3, a4, ... , a1, a2) ... (a1,a2,a3,...,an) => (an, a1, a2, ... , ) Como as n sequencias do lado esquerdo tem mesma ordenacao, tem-se a1^n + ... + an^n >= n*a1*a2*...*an .. ------------ Eu pensei em usar inducao sobre o numero M de sequencias (M >= 2): O caso base (M = 2) eh, como voce disse, a desigualdade do rearranjo. Supondo que o resultado seja verdadeiro para quaisquer M-1 sequencias (M >= 3) de termos positivos, consideremos as M sequencias (A_i), (B_i), (C_i), ..., (Z_i) (achei melhor usar esta notacao do que dois indices) de termos positivos e as somas correspondentes do tipo: S = A_1*B_1*...*Z_1 + ... + A_n*B_n*...*Z_n Inicialmente, aplicamos a hipotese de inducao as M-1 sequencias (A_i*B_i), (C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando todas estas as sequencias tem a mesma ordenacao, digamos: 0 < A_1*B_1 <= ... <= A_n*B_n, 0 < C_1 <= ... <= C_n, ... 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. Agora, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i), (B_i*C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando: 0 < A_1 <= ... <= A_n, 0 < B_1*C_1 <= ... <= B_n*C_n, ... 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. Finalmente, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i*C_i), (B_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando: 0 < A-1*C_1 <= ... <= A_n*C_n, 0 < B_1 <= ... <= B_n, ... 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. Naturalmente, o valor maximo de S serah o mesmo em cada um dos tres casos acima. Estas tres aplicacoes da h.i. implicam que S eh maxima quando: 0 < A_1 <= ... <= A_n, 0 < B_1 <= ... <= B_n, 0 < C_1 <= ... <= C_n, ... 0 < Z_1 <= ... <= Z_n, ou seja, quando as M sequencias tiverem a a mesma ordenacao. Voce ve algum furo neste raciocinio? Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================