Carlos Maçaranduba propõe: > Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] é tal > que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k, > então f = 0.Mostrar por exemplo que esta propriedade é > falha se k é finito.
Seja <K,+,*,0,1> um corpo finito com n elementos. Da própria definição de "corpo", vê-se que <K-{0},*> é um GRUPO com n-1 elementos. Segue-se do Teorema de Lagrange que w em K-{0} ==> X^(n-1) = 1. (A propósito, para K = Z/pZ, p primo, isto é o Pequeno Teorema de Fermat.) Portanto, multiplicando por X, vem w em K ==> X^n - X = 0. Assim, para o polinômio f = X^n - X, vale f(w)=0 para todo w em K. Todavia, f é não-nulo (pois tem pelo menos dois coeficientes não-nulos, 1 e -1). Na verdade, um fato mais fundamental se esconde em tudo isso: um polinômio f<>0 não pode ter mais zeros do que o seu grau. Mais precisamente, lembrando que todo corpo é um domínio, e indicando por Z(f) o conjunto dos zeros de f (na estrutura ambiente), temos: (T1) HIPÓTESES: A é um domínio de integridade, f está em A[X] e f<>=0. CONCLUSÃO: card Z(f) <= grau(f). Equivalentemente: (T2) HIPÓTESES: A é um domínio de integridade, f está em A[X] e card Z(f) > grau(f). CONCLUSÃO: f=0. Poderíamos então propor, como exercício, a construção de um exemplo mostrando que (T1) e (T2) não valem, em geral, para anéis que NÃO são domínios. Para tais anéis, é possível que um polinômio não-nulo tenha mais zeros do que o seu grau! Exemplos? Carlos César de Araújo Matemática para Gregos & Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================