On Thu, Jun 26, 2003 at 05:29:33PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote: > Boa tarde pessoal tudo bem? > > Agradeceria se algu�m pudesse corrigir este problema para mim, pois n�o > tenho certeza quanto 'a minha resolu��o: > > 2. Um museu tem um terreno de exposi��o na forma de um tri�ngulo > ret�ngulo de catetos 50m e 60m. A dire��o do museu decidiu ladrilhar > a �rea. Cada ladrilho � um quadrado de 10 cm de lado. Os ladrilhos > s�o feitos de um material que pode ser cortado apenas 1 vez, devido > ao risco de rachaduras. Al�m disso, apenas uma das partes do > ladrilho cortado pode ser aproveitada. Responda: > a) Qual o n�mero exato de ladrilhos que ser� empregado na obra? > > O n�mero exato de ladrilhos utilizado � igual 'a area do triangulo dividida > pela 'area de cada ladrilho. Transformando os valores para centimetros temos: > > �rea Terreno = (6000 x 5000) / 2 = 15 000 000 cm^2 > �rea Ladrilho = 10 x 10 = 100 cm^2 > n Ladrilhos = 15 000 000 / 100 = 150 000 ladrilhos
N�o, isto n�o est� certo. Voc� est� implicitamente supondo que os ladrilhos
podem ser recotados e remontados livremente quando o enunciado diz exatamente
o contr�rio.
Acho que devemos supor que os ladrilhos t�m todos os lados paralelos
aos catetos do terreno (isso n�o foi dito no enunciado; uma solu��o
a meu ver mais correta incluiria estudar todas as inclina��es poss�veis
e ver qual a melhor). Assim, medindo tudo em dec�metros, devemos
considerar o tri�ngulo de v�rtices (0,0), (500,0) e (0,600) e ver
quantos quadrados da forma [a,a+1]x[b,b+1], onde a e b s�o inteiros,
tem alguma parte (que pode ser pequena ou o quadrado todo) no interior
do tri�ngulo. Como para a, b >= 0, o canto inferior esquerdo � o que tem
mais chance de estar abaixo da hipotenusa devemos contar os pares de
inteiros (a,b) com
a >= 0, b >= 0, a/500 + b/600 < 1
que eu prefiro escrever como
a >= 0, b >= 0, b < 600 - 6a/5.
Para cada a, 0 <= a < 500, seja f(a) o n�mero de inteiros b que satisfazem
b >= 0, b < 600 - 6a/5
A resposta � N = f(0) + f(1) + ... + f(499) = soma_{0 <= a < 500} f(a)
Temos f(a) = teto(600 - 6a/5), onde teto(x) = n sse n � inteiro e
n-1 < x <= n. Assim
N = teto(600) + teto(600 - 6/5) + teto(600 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 3*6/5) + teto(600 - 4*6/5) +
+ teto(600 - 6) + teto(600 - 6 - 6/5) + teto(600 - 6 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 6 - 3*6/5) + teto(600 - 6 - 4*6/5) + ...
... + teto(600 - 6*99) + teto(600 - 6*99 - 6/5) + teto(600 - 6*99 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 6*99 - 3*6/5) + teto(600 - 6*99 - 4*6/5)
= 600*500 - 5*6*(0+1+2+...+99) +
+ 100*(teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5))
Mas 0+1+2+...+99 = 99*50 = 4950 e
teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5) = -1-2-3-4 = -10
donde
N = 300000 - 30*4950 - 100*10 = 150500
Ou seja, no quebra quebra h� um desperd�cio de 500 ladrilhos.
O n�mero de ladrilhos cortados � 1000: h� exatamente dois ladrilhos
cortados por linha e h� 500 linhas. Isto pode ser visto olhando a figura
ou com um argumento parecido com o que eu acabei de dar.
Note que se pud�ssemos usar os dois peda�os do ladrilho a sua resposta
estaria correta: precisamos de 149500 ladrilhos inteiros e 1000 peda�os
que podem ser encaixados para formar 500 ladrilhos.
[]s, N.
<<attachment: ladrilho.png>>
