Caros Salvador e Nicks, Ha' uma prova desse fato no livro "Chebyshev Polynomials", de T. Rivlin, (pag. 123) mas nao e' muito trivial. Ele se refere a esse resultado como o teorema de A. A. Markov. Estou pensando para ver se consigo uma prova que seja mais facil de escrever. De qualquer jeito o resultado e' o melhor possivel: se P_n e' o polinomio tal que P_n(cos(x))=cos(nx), entao P_n leva [-1,1] em [-1,1] e P_n'(1)=n^2. Depois ele prova (de um jeito mais complicado) o fato analogo para derivadas de ordens superiores, que ele diz que e' devido a V. A. Markov, irmao do outro Markov: se f e' um polinomio de grau n como abaixo entao |f^(k)(x)|<=P_n^(k)(1) para todo k e todo x em [-1,1], onde esse ^(k) denota k-esima derivada. Abracos, Gugu
> > > >Oi gente, > >alguem tentou fazer esse problema? Nao eh bolinho... > > >Um abraco, > >Salvador > > >On Tue, 19 Aug 2003, fnicks wrote: > >> Olá pessoal, >> >> >> Poderiam me ajudar no problema a seguir ? >> >> >> Considere o polinômio f(x) = A0 +A1(x) +A2(x^2) +A3(x^3)+...+ >> An(x^n) tal que >> >> >> f(x) está o intervalo [-1,1] ; para todo x no intervalo [- >> 1,1]. >> >> >> Prove que a derivada de f(x) está no intervalo [-n^2 ,n^2] . >> >> >> >> Nota : A0 , A1 , A2 , ..., An são os coeficientes do >> polinômio . >> >> >> >> []´s Nicks >> >> >> --- >> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. >> AntiPop-up UOL - É grátis! >> http://antipopup.uol.com.br >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================