Seja f(x)=x^n - 1 - n*x + n. Para todo n >0 f(1) =0. f '(x)=n*x^(n-1) - n. Para todo n >1, f '(1) =0. f "(x)=(n^2 - n)*x^(n-2). Logo f "(1) =0 se e somente se n^2 - n =0 => n =0 ou n =1. Para n >1 e x>0 , f "(x)>0. Ent�o para n >1 , f(1) � m�nimo local.
Se n>1: f(x) = x^n - n*x +n -1 = (x-1)*(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1-n)= ((x-1)^2)*(x^(n-2)+2*x^(n-3)+3*x^(n-4)+...+(n-3)*x^2+(n-2)*x+n-1)= ((x-1)^2)*g(x) Note que se x>0 , g(x) � crescente e portanto nesse intervalo g(x)>g(0)=n-1>0. Tamb�m (x-1)^2>=0. Logo se n>1 e x>0,f(x)>=0
Se n=1: f(x)=x-1-x+1=0 Logo f(x)>=0
Se n=0: f(x)=1-1=0 Logo f(x)>=0
Ent�o se x>0 e n � natural, ent�o f(x)>=0 CQD
Andr� T.
From: "Bernardo Vieira Emerick" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema - Ajuda Date: Wed, 03 Sep 2003 17:18:20 +0000
Eu encontrei um problema que pede para provar que x^n >= 1 + n*x - n, para todo x>0 (x � real) e todo n natural.
Valeu a�, para quem tentar.
Abra�os,
Bernardo
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