Se V1,V2,....,Vn é uma base para um espaço vetorial W, mostre que V1+V2,V2+V3,V3+V4,...,Vn-1+Vn,Vn+V1 é uma base para W se e somente se W tem dimensão ímpar.
+-----+ se provarmos que B = {v1 + v2, v2 + v3, ...., vn + v1} é um conjunto LI ele é necessariamente uma base de W, pois possui n vetores. suponha que a1, ..., an são tais que a1(v1 + v2) + a2(v2 + v3) + ... + an(vn + v1) = 0 então v1(a1 + an) + v2(a1 + a2) + v3(a2 + a3) + ... + vn(a[n-1] + an) = 0 <=> a1 = -an, a1 = -a2, a2 = -a3, ..., a[n-1] = -an pois {v1, v2, ..., vn} é LI. então temos (a1 não nulo) (a1, a2, ..., an) = (a1, -a1, a1, -a1, ..., -a1), mas isso só pode ser verdade se n for par, sendo assim B é LD <=> n é par, logo provamos que B é base de W <=> dimW = n é ímpar. [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================