Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces est�o me dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos.
Gostaria de perguntar o seguinte:
Seja V um espa�o vetorial de dimens�o n.
a)Um conjunto LI de vetores ser� necessariamente uma base desse espa�o? ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espa�o de dimens�o n?.
Nao, pode existir algum vetor em V que n�o � combina��o linear dos vetores deste conjunto LI. Pense em R^3 com sendo V (sobre R) e em {(1,0,0) ,(0,1,0)} como sendo X. � claro que X � LI, mas X n�o gera R^3 pois n�o existem coeficientes a,b pertencentes a R tais que a*(1,0,0) + b*(0,1,0) = (0,0,1). A propriedade LI significa injetividade da fun��o abaixo :
f : R^m (m-upla de coeficientes reais )-> R^n (espaco vetorial)
f(r_1,r_2,...,r_m) = Somatorio( r_i * x_i, 1<=i<=m ) onde m � a cardinalidade de X (m<=n senao X nao seria LI)
mas isto nao quer dizer que todo vetor em V pode ser escrito como CL dos m vetores em X (isto seria a sobrejetividade da funcao f).
X � base <=> f � bijetora
b)� poss�vel termos um conjunto de m vetores LD ( m>n) que gere um espa�o de dimens�o n?
Sim. Suponha que X seja uma base para V (sempre existe uma base). Entao X tem n vetores e X gera V. Voce pode acrescentar mais vetores a X e este vai continuar gerando V pois aqueles n que estavam l� antes j� geravam V. O �nico problema � que X n�o ser� mais uma base ( vc perde a injetividade acima - X passa a ser LD ).
desde agrade�o a colabora��o de voces.
jo�o Nakamura
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[]s -- Felipe Pina
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