on 08.10.03 16:58, Hely at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pessoal, vejam se esta demonstra��o esta certa: > > Provar que sqrt(2) � irracional. > > Por contradi��o digo que sqrt(2) � racional. > > Logo sqrt(2) = m/n que � uma fra��o irredut�vel, e 'm' e 'n' s�o primos > entre si. > > Da rela��o acima digo que m^2 = 2 n^2. > > Posso afirmar que m^2 � par. m tamb�m deve ser par, logo m = 2k, com k > pertencente a Z. > > (2k)^2 = 2n^2, onde concluo que n^2 tambem � par. n tambem deve ser par. > Aqui acabou a demonstracao (que alias, estah correta).
A contradicao eh que, com base na hipotese inicial de m e n serem primos entre si, voce acabou concluindo que m e n sao pares (logo, nao-primos entre si). Assim, a unica conclusao possivel eh que sqrt(2) nao eh racional (pois a hipotese de sqrt(2) ser racional, e portanto expressavel como uma fracao irredutivel, leva a uma contradicao). > Se m e n s�o pares existe uma contradi��o pois sqrt(2) n�o � uma fra��o > irredut�vel, e logo n�o � racional. > Vamos analisar a logica da sua demonstracao: Voce usou o fato (verdadeiro) de que qualquer numero racional pode ser expresso como uma fracao irredutivel. Com base nesse fato, a sua demonstracao teve tres partes: 1) Supos que sqrt(2) eh racional 2) Deduziu (com base no fato acima) que sqrt(2) tem uma expressao como fracao irredutivel; 3) Deduziu (por manipulacoes e inferencias algebricas validas) que esta fracao irredutivel igual a sqrt(2) eh na verdade redutivel. Naturalmente, na parte (3) voce obteve uma contradicao. Como todas as inferencias foram validas, o problema tem que estar obrigatoriamente na sua suposicao inicial (1). Logo, sqrt(2) nao pode ser racional. > Minha d�vida �, como posso dizer que m e n s�o pares? > Imagino que voce queira provar que se m^2 eh par entao m eh par. Uma ideia eh usar o contrapositivo: Se m eh impar, entao m = 2k+1 para algum inteiro k. Mas nesse caso, m^2 = 4k^2 + 4k + 1 tambem eh impar. Espero ter ajudado. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
