1-Seja G um grupo finito e seja H um subconjunto nao vazio de G.Mostre que H é subgrupo de G se e somente se H é fechado na operaçao de G.[Sugestao: Mostre que, para cada elemento "a" pertencente a H, existe um inteiro positivo n tal que a^n = e(elemento neutro) ].Mostre que esta propriedade nao se mantem para G infinito.
Suponha que é H fechado em relacao à operação de G. Seja a em H.
Então a sequência infinita a, a^2, a^3, ... está em H. Mas H é finito, logo
existem repetições nesta seqûência. Isto é, existem dois números n e m inteiros positivos
distintos tais que a^m = a^n. Suponha, sem perda de generalidade, que m
n.Como G é grupo sabemos que, em G, existe a^(-n), isto é, o inverso de a^n. Donde a^m * a^(-n) = e = a^(m-n). Mas, como m > n, (m-n) é inteiro positivo, o que nos diz que a^(m-n) = e = a^0, está na seqüência acima, e, portanto, em H (a^0 está nesta seqüência). Como (m-n-1) >= 0, a^(m-n-1) está na seqüência acima, e, portanto, em H. Mas a^(m-n-1) é o inverso de a.
Mostramos que :
G grupo finito e H subconjunto de G fechado em relação à operação em G
Então
para todo a em H, a^(-1) está em H (*)
E é fácil ver que :
G grupo qualquer e H um subconjunto de G
Então
H é subgrupo de G <-> (H é fechado em relação à operação em G) e a condição (*) é satisfeita
O resultado acima nos mostra que, no caso de G finito, a afirmaçao (*) é automaticamente satisfeita.
2-Sejam G um grupo multiplicativo e seja H um subgrupo
de G.Mostre que se x pertence a G entao xHy(y é o
inverso de x em G) é tambem um subgrupo de G, sendo
xHy = {xhy tal que h pertence a H}.
xy = yx = e
Peguemos 2 elementos em xHy, digamos, xgy e xhy.
xgy * xhy = xghy
Mas H é subgrupo, logo gh está em H -> xghy está em xHy -> xHy é fechado em relação ao produto.
Basta mostrar que qq elemento em xHy tem inverso em xHy. Seja xhy um elemento de xHy.
Como H é subgrupo, existe h^(-1) em H -> x*h^(-1)*y está em xHy
Mas xhy * x*h^(-1)*y = x*h*h^(-1)*y = x*e*y = x*y = e. Logo xHy é subgrupo.
Mais geralmente, H é isomorfo a xHy (um exercício tranqüilo). Daí é claro que, xHy é um subgrupo (pois H o é).
Recomendo novamente a leitura do livro 'Tópicos de Álgebra' de I. N. Hernstein para uma excelente introdução aos assuntos de Grupos e Anéis.
-- []s Felipe Pina
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
