On 10/21/03 18:37:37, leonardo mattos wrote:
x+y+z=a+b+1 xy+(x+y)z=a+b+ab xy=ab
Determine os valores de a e b para q o sistema admita apenas solucoes reais e positivas para x e y.
[...]
Substituindo xy = ab em xy + (x+y)z = a+b+ab, z = a+b <=> z = (a+b)/(x +y). Seja c = a+b, w = x+y. Ent�o z = c/w,
x+y+z = a+b+1 w + c/w = c+1 w^2 - (c+1)w + c = 0 w = c+1 +- sqrt(c^2 + 2c + 1 - 4c) w = c+1 +- |c-1|.
Agora, � necess�rio que u^2 - wu + ab = 0 (os dois poss�veis valores de u s�o os valores de x e y) s� admita solu��es reais e positivas, independente do valor de w. � necess�rio, portanto, que w^2 - 4ab >= 0.
c^2 + 2c + 1 +- 2|c^2 - 1| + c^2 - 2c + 1 - 4ab >= 0 c^2 + 1 +- |c^2 - 1| - 2ab >= 0 a^2 + 2ab + b^2 +- |c^2 - 1| - 2ab >= 0 a^2 + b^2 +- |c^2 - 1| >= 0
Al�m disso,
u = (w +- sqrt(a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|))/2 deve ser maior que zero. Logo w - sqrt(a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|) > 0 <=>
0 <= a^2 + b^2 +- |c^2 - 1| < w^2. Como o que est� dentro da desigualdade � w^2 - 4ab, basta resolver o sistema
0 <= a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|
-4ab < 0 <=> ab > 0, logo a e b t�m mesmo sinal. A primeira desigualdade equivale �s duas desigualdades
a^2 + b^2 + |c^2 - 1| >= 0 a^2 + b^2 - |c^2 - 1| >= 0
mas independente do sinal de |c^2 - 1|, as duas desigualdades equivalem a
a^2 + b^2 + c^2 >= 1 (i) a^2 + b^2 + 1 >= c^2 (ii)
(i) 2a^2 + 2ab + 2b^2 >= 1. Se a = b = 0, a desigualdade � obviamente falsa. Seja q = a/b ou b/a, o que for apropriado para que n�o haja divis�o por zero. A equa��o se torna 2q^2 + 2q + 1 >= 0, sempre verdadeira.
(ii) 1 >= 2ab <=> ab <= 1/2.
Combinando tudo, � necess�rio e suficiente que 0 < ab <= 1/2.
Algu�m tem uma id�ia para uma solu��o menos trabalhosa?
[]s,
-- F�bio "ctg \pi" Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net)
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