From: Leandro Lacorte Rec�va <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: RE: [obm-l] Sistema (IME)
Date: Wed, 22 Oct 2003 09:11:48 -0700
Leonardo,
Eu pensei no sistema assim:
Enumeremos as equacoes:
(1) x+y+z=a+b+1
(2) xy+(x+y)z=a+b+ab
(3) xy=ab
Isole (x+y) em (1) entao temos: (x+y)=(a+b+1)-z (4)
Substitua (4) e (3) em (2) e obtemos a equacao do 2o grau em z:
ab+(a+b+1-z)z = a+b+ab, simplificando, obtemos
z^2-z(a+b+1)+(a+b) = 0
As solucoes dessa equacao sao z1 = a+b, z2=1.
Entao, para cada valor de z, vamos encontrar os valores de x e y em funcao
de a e b e ver quais sao as condicoes necessarias que a e b devem
satisfazer
para que as solucoes de x e y sejam positivas e reais.
(Caso em que z2=1).
Para z2=1, temos
x+y=a+b
xy=ab
Entao, isolando y=ab/x e substituindo na 1a equacao obtemos a equacao do 2o
grau em x:
x^2-x(a+b)+ab=0 cujas solucoes sao x1=a ou x2=b.
Para x1=a, obtemos y1=b e para x2=b, obtemos y2=a. Nesse caso, para z2=1,
para que x e y sejas positivas, devemos ter a >0 e b > 0.
(Caso em que z1=a+b).
Substituindo esse valor de z1 em (1) obtemos
x+y = 1
xy=ab
Isolando x=1-y e substituindo em xy=ab, obtemos a equacao do 2o grau para y
dada por
y^2 - y + ab = 0
O discriminante dessa equacao e dado por Delta=1-4ab. Para que y tenha
solucoes reais e positivas, devemos fazer com que 1-4ab>=0, ou ainda,
1-4ab >=0 => ab<=1/4. (*)
Nesse caso, observe que as solucoes de y serao dadas por
Y1 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0 (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*))
Y2 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0 (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*))
Porem, x=ab/y. Note, que y1 e y2 sao positivas, porem, da restricao (*)
podemos ter o caso em que x1 <=0 e x2<=0 caso ab<=0. Portanto, para que
tenhamos as solucoes x positivas e reais devemos acrescentar mais a
restricao em (*) de que ab >=0. Nesse caso, a condicao final para z1=(a+b),
devemos ter que 0<=ab<=1/4.
Caso tenha errado em contas ou raciocinio, favor corrigir-me.
Leandro.
Los Angeles, CA.
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of leonardo mattos
Sent: Tuesday, October 21, 2003 1:38 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Sistema (IME)
x+y+z=a+b+1
xy+(x+y)z=a+b+ab
xy=ab
Determine os valores de a e b para q o sistema admita apenas solucoes reais
e positivas para x e y.
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