Bom, por um lado eh verdade que 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1, para todo n natural
e que, portanto, o termo geral tende a zero.
Alem disso, a primeira vista, o n-esimo termo seria majorado por algo da
forma a^n/n, com 1/3 < a < 1, o que implicaria em convergencia. Soh que isso
nao eh verdade. Aquela nossa discussao sobre densidade e equidistribuicao
mostrou que a sequencia cujo termo geral eh (2+sen(n))/3 tem uma
subsequencia convergindo pra 1 (apesar de (2+sen(n))/3 nao ser UD em [1/2,1]
- acho que o Gugu mandou uma mensagem mostrando isso ou algo muito similar).
Isso significa que nao existe a em (1/3,1) tal que a majoracao mencionada
acima ocorre para todo n.
Claro, o problema estah no expoente n (sem ele, cada termo teria 1/(3n) como
cota inferior e a serie seria divergente por comparacao com a serie
harmonica).
A serie SOMA(n>=1) ((2+sen(n))/3)^n tambem me parece problematica, pois nao
pode ser majorada por nenhuma serie geometrica com razao < 1. Nesse caso,
nao tenho nem certeza sobre se o termo geral tende a zero.
Talvez seja interessante considerar a serie SOMA(n>=1) x(n)^n, onde x(n) eh
uma sequencia UD em [0,1]. Uma duvida que eu tenho eh se o expoente n puxa
os termos da serie pra baixo o suficiente pra que ele convirja. Serah que,
pelo menos, lim x(n)^n = 0 ?
Espero que alguem com mais conhecimentos entre na discussao e tire essas
duvidas.
Um abraco,
Claudio.
on 23.10.03 00:57, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Oi Cl�udio!
>
> N�o sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz a
> pergunta. Pelo que ouvi dizer, este � um problema que um professor copiou
> mal de um livro e prop�s a seus alunos. (o problema original era trivial)
> Ele tentou e n�o conseguiu resolver o problema. O problema j� passou por
> muita gente, segundo me contaram at� numa das edi��es da revista AMM, e
> ainda n�o encontraram a solu��o.
>
> A mim, parece que a s�rie converge. Eu propus na lista por que sei que voc�,
> e outros, iriam se interessar, j� que ela parece ter tudo a ver com a
> quest�o de seq��ncias equidistribu�das.
>
> Ele n�o me parece t�o dif�cil, o que voc� acha?
>
> Abra�o, Duda.
>
>
> From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
>> on 20.10.03 01:36, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
> wrote:
>>
>>> Oi Pessoal!
>>>
>>> E quanto � SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
>>>
>>> Abra�o, Duda.
>>>
>> Oi, Duda:
>>
>> Interessante esse problema. Voce sabe a resposta?
>>
>> Um abraco,
>> Claudio.
>>
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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