Qual é a fórmula para área de um setor em função do ângulo? ----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, October 25, 2003 11:21 AM Subject: Re: [obm-l] Área da "Lua"
> on 25.10.03 04:01, Douglas Ribeiro Silva at [EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução > > sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas > > lá vai... > > > > Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma > > circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com > > centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. > > Qual a área dessa figura em forma de "Lua"? > > > > Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse > > problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra > > por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. > > > > Abraços, Douglas. > > > Caro Douglas: > > Aqui vao apenas algumas dicas, pois as contas sao um pouco chatinhas. > > Por geometria plana, chame de O o centro do quadrado e de P e Q os pontos de > interseccao da circunferencia com o arco (P proximo de A e Q proximo de C). > Seja 2a o comprimento do lado do quadrado. > > Entao, OP = a, PB = 2a, OB = a*raiz(2). Com isso voce resolve os triangulos > OBP e OBQ (que sao iguais), descobre os angulos PBQ e POQ e determina as > areas dos setores circulares POQ e PBQ. A area da sua lua sai por > soma/diferenca de areas entre estes setores e os triangulos correspondentes. > > ***** > > Por integral, coloque a origem das coordenadas em B, de modo que os demais > vertices tenham por coordenadas: > A = (-a*raiz(2),a*raiz(2)); C = (a*raiz(2),a*raiz(2)); D = (0,2a*raiz(2)) > > O arco centrado em B tem equacao: > y1 = raiz(4a^2 - x^2) > O arco relevante da circunferencia inscrita eh: > y2 = a*raiz(2) + raiz(2a^2 - x^2) > > Agora voce acha as abscissas dos dois pontos de interseccao (-b e b, > digamos) e calcula a area da lua, dada por INTEGRAL(-b..b) (y2 - y1)*dx. > > Um abraco, > Claudio. > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================