Sauda,c~oes, Essa solução é praticamente igual à que apresento num livro de Trigonometria que escrevi. Só que o problema pedia o sen 18.
Lá como aqui encontramos duas soluções e precisamos decidir qual é a verdadeira. Vemos que sen 18 = [raiz(5) - 1]/4 e a outra solução era x = [raiz(5) + 1]/4. Não fui até as últimas conseqüências e não percebi que x = sen 54. Isso eu só percebi recentemente quando resolvi (no braço) a equação x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 5 = 0. Mas outra solução interessante para cos 36 (cos 18 e sen 18 seguem facilmente) encontra-se no The Art of Computer Programming do Knuth. Sejam u = cos 72 , v = cos 36. Temos u = 2v^2 - 1; v = 1 - 2 sen^2 18 = 1 - 2u^2. Logo, u+v = 2(v^2 - u^2), ou seja, 1 = 2(v - u). Assim, 4v^2 - 2v - 1 = 0. v = phi/2, onde phi = [raiz(5) + 1]/2 tem a ver com a seqüência de Fibonacci. []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: sexta-feira, 5 de dezembro de 2003 08:11 Assunto: Re: [obm-l] dúvida 2 > Achei a minha resolução: > > Sabendo que: > cos 3x = 4cos³ x - 3cos x > sen 3x = 3sen x - 4sen³ x > > Podemos fazer: > = cos 5x > = cos (3x + 2x) > = (cos 3x).(cos 2x) - (sen 3x).(sen 2x) > = (4cos³ x - 3cos x).(cos² x - sen² x) - (3sen x - > 4sen³ x).[2.(sen x).(cos x)] > = 4.(cos x)^5 - 4.(cos³ x).(sen² x) - 3cos³ x + 3.(cos > x).(sen² x) - [6.(sen² x).(cos x) - 8.(cos x).(sen > x)^4] > = 4.(cos x)^5 - 4cos³ x + 4.(cos x)^5 - 3cos³ x + 3cos > x - 3cos³ x - [6cos x - 6cos³ x - 8.(cos x).(1 - cos² > x)²] > = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - {6cos x - 6cos³ x > - 8.(cos x).[1 - 2cos² x + (cos x)^4]} > = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [6cos x - 6cos³ x > - 8cos x + 16cos³ x - 8.(cos x)^5] > = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [10cos³ x - 2cos x > - 8.(cos x)^5] > = 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - 10cos³ x + 2cos x > + 8.(cos x)^5 > = 16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x > > E resolvemos a equação: > x = 18° > cos 5x = cos 90° > cos 5x = 0 > 16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x = 0 > (cos x).[16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5] = 0 > > Ou cos x = 0, que é falso no caso de 18°, ou: > > 16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5 = 0 > cos² x = [10 +- raiz(20)]/16 > cos x = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4 > > Precisamos descobrir o sinal dentro da raiz. Como 18 > está próximo de 15° e o cosseno de 15° é: > cos 15 = [raiz(2) + raiz(6)]/4 > cos 15 = 0,966 > > O valor de cos 18 tem que estar próximo disso: > cos 18 = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4 > raiz[10 + 2raiz(5)]/4 = 0,951 > raiz[10 - 2raiz(5)]/4 = 0,588 > > Daí concluímos que: > cos 18 = raiz[10 + 2raiz(5)]/4 > > E podemos achar o seno de 18° também: > sen² 18° = 1 - cos² 18° > sen² 18° = 1 - [10 + 2raiz(5)]/16 > sen² 18° = [6 - 2raiz(5)]/16 > sen 18° = raiz[6 - 2raiz(5)]/4 > sen 18° = raiz{[raiz(5) - 1]²}/4 > sen 18° = [raiz(5) - 1]/4 > > Abraços, > > Rafael. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================