Pessoal da lista , eu estou enviando para de voc�s quatro proposi��es minhas que eu mesmo demonstrei e no entanto eu n�o sei se constam dentro da Teoria dos N�meros. Gostaria da ajuda de voc�s.
Proposi��o 1: Se p >3 e p+2 s�o primos g�meos ent�o p +1 = 6k, para algum k inteiro
Como p � primo �mpar ent�o p+1 � par, da� 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1.
vamos supor que 3 n�o divide p+1, da� temos duas situa��es poss�veis:
- p+1= 3.k +1 para algum k inteiro, da� p = 3.k absurdo pois p � primo
- ou,
- p+1 = 3.k +2, par algum k inteiro , ent�o p = 3.k +1 , logo 2p = 6.k + 2 , da�
p+1 = 3.k +2, para algum k inteiro, ent�o p + 1 + 1 = 3.k + 2 +1 , ent�o p+2 = 3.k +3 = 3( k+1) = 3.m, absurdo pois p+2 � primo.
logo por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1 e 3 divide p+1, ent�o 6 divide p+1, da� p+1= 6.k. Como quer�amos demonstrar!
Proposi��o 2: Se p>3 e p+2 s�o primos g�meos ent�o p= 6.k +5, para algum k inteiro
De fato,
pela proposi��o 1 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5 .
Proposi��o 3: Se p>3 e 2.p +1 s�o primos ent�o p+1=6.n , para algum n inteiro.
Como p � primo �mpar ent�o p+1 � par, da� 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1.
vamos supor que 3 n�o divide p+1, da� temos duas situa��es poss�veis:
a)
p+1= 3.k +1, para algum k inteiro , ent�o p = 3.k absurdo pois p � primo, ou
ent�o por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1, ent�o 6 divide p+1. Da� , p+1 = 6.n, para algum n inteiro.
Proposi��o 4 : Se p>3 e 2p +1 s�o primos ent�o p= 6.k +5, para algum k inteiro.
Pela proposi��o 3 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro , ent�o p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5 , como quer�amos demonstrar .
Atenciosamente ,
Levi
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