Obrigado Claudio. Mas eu lembrei errado, o teorema que eu citei nao existe....Na realidade, conforme o Nicolau afirmou, as partes reais de raizes inteiras da unidade sao sempre inteiros algebricos. Justamente o contario do que assumi na minha falsa "prova"...Eh facil ver isso, eu me precipitei. Um abraco Artur
--- Cláudio_(Prática) <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi, Artur: > > Tem também um teorema que diz que se x e cos(pi*x) > são ambos racionais, > então x = k/2 ou x = k/3 para algum k inteiro, mas > não se aplica a este > problema pois (raiz(5)-1)/2 é irracional. > > Mesmo não sendo aplicável, acho que é um resultado > interessante por si mesmo > e cuja demonstração não é difícil. > A idéia é mostrar, por indução, que cos(n*pi*x) pode > ser expresso como um > polinômio: > p(t) = a_0 + a_1*t + ... + a_n*t^n, > de grau n, em cos(pi*x) tal que: > a_n = 2^(n-1) > e > para 2 <= k <= n, 2^(k-1) divide a_k. > > Isso implica que 2*cos(pi*x) é raiz de um polinômio > mônico de grau n e > coeficientes inteiros. Logo, se 2*cos(pi*x) é > racional, então 2*cos(pi*x) só > pode ser inteiro (pelo bom e velho teorema das > raízes racionais) ==> > cos(pi*x) = -1, -1/2, 0, 1/2 ou 1 ==> x = k/2 ou x = > k/3 com k inteiro. > > Um corolário que eu acho interessante é que se as > medidas dos lados e dos > ângulos (em graus) de um triângulo são todas > racionais, então esse triângulo > é equilátero. > > ***** > > De qualquer forma talvez dê pra aproveitar alguma > idéia do teorema acima pra > resolver o problema do Márcio. > > Um abraço, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Tuesday, February 10, 2004 12:50 PM > Subject: Re: [obm-l] Problema Interessante > > > > O Marcio Cohen propos, no ultimo domingo, um > problema interessante, provar > > que x = arccos[((sqrt(5)-1)/2]/pi eh irracional. > Eu achei que isto poderia > > ter solucao por fracoes continuas ou com base na > divisao aurea. Mas por > aih > > nao cheguei a nada. > > > > Depois eu notei que (sqrt(5)-1))/2 eh uma das dua > raizes da equacao do > > segundo grau, de coeficientes inteiros, 2x^2 + x > -1 =0, de modo que > > (sqrt(5)-1))/2 eh algebrico. Observamos ainda que > cos(pi*x) > =(sqrt(5)-1))/2, > > o que implica em que a parte real de e^(pi*x) seja > Re[^(pi*x)] = > > sqrt(5)-1))/2. Neste ponto eu me lembrei que > parece que hah um teorema > (mao > > estou abolutamente certo) o qual diz que, com > excecao de -1, 0 e 1, as > > partes reais das raizes inteiras da unidade sao > transcendentes. Se alguem > se > > lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e > puder apresentar ou > mesmo > > rascunhar uma prova, eu gostaria. > > > > Bom, assumindo-se que o citado teorema > efetivamente exista, concluimos que > > Re[e^(pi*x)] ek algebrico e que, desta forma, > e^(pi*x*i) nao eh raiz da > > unidade. Se x for racional, entao existem inteiros > p>0 e q<>0 tais que x > > =p/q. Logo pi*x*i = pi* p/q *i e e^(pi*x*i)= > cos(p*pi/q) + i * > sen(p*pi/q). > > Logo, [e^(pi*x*i]*q = cos(p*pi) + i * sen(p*pi). > Mas eh sempre possivel > > escolhermos p/q = x de modo que p seja par e que, > consequentemente, > > cos(p*pi) = 1 e sen(p*pi) =0. Isto nos mostra que > existe q inteiro tal > que > > [e^(pi*x*i]*q =1 . A conclusao eh que se x eh > racional entao e^(pi*x*i) > eh > > raiz da unidade para algum inteiro p. > > dado que, no caso prooposto, e^(pi*x*i) nao eh > raiz da unidade, segue-se > que > > x eh iracional. > > Supondo-se, eh claro, que o teorema que citei > existe...Vou tentar > > demonstra-lo, se possivel. > > Artur > > > > > > ________________________________________________ > > OPEN Internet > > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no > servidor de e-mails @ > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance: Get your refund fast by filing online. http://taxes.yahoo.com/filing.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================