Seja o tri�ngulo ret�ngulo ABC (reto em B) e admitindo, ent�o, que os dois lados do quadrado sejam coincidentes aos catetos, teremos, pelo teorema de Pit�goras:
(x+4)^2 + (y+4)^2 = 12^2, sendo x e y os valores que somados a 4 representam os catetos. Chamando o ponto de intersec��o do quadrado com AC de P e o ponto de intersec��o do quadrado com AB de Q, sabemos que o �ngulo APQ e o �ngulo ACB s�o correspondentes, portanto t�m a mesma medida. Assim, tg(APQ) = tg(ACB) ==> x/4 = 4/y ==> y = 16/x Substituindo na rela��o anterior: (x+4)^2 + (4+16/x)^2 = 12^2 ==> (x^2+16)(x+4)^2 = 144x^2 ==> ==> x^4 + 8x^3 - 112x^2 + 128x + 256 = 0 Desgra�adamente, essa equa��o � completa do 4�. grau e n�o possui qualquer raiz racional. Pela regra de sinais de Descartes, sabemos que h� 2 ra�zes positivas e 2 negativas. Agora, para descobrir tais ra�zes, s� nos resta utilizar o m�todo de Ferrari (e n�o de Tartaglia, como foi dito, embora seja necess�rio tamb�m) e rezar para que Deus nos ajude............ Primeiramente, encontra-se um w real arbitr�rio para a equa��o seguinte: w^3 + 112w^2 + (128*8-4*256)w + 4*(-112)*256 - 128^2 - 8^2 * 256 = 0 <=> <=> w^3 + 112w^2 - 147456 = 0 Eis outro ponto cr�tico: trata-se de uma equa��o do 3�. grau incompleta. No entanto, as ra�zes s�o racionais, n�o sendo obrigat�rio o uso do m�todo de Tartaglia, embora o tamanho do termo independente n�o seja muito simp�tico para usar o TRR... Assim, escolhendo-se uma das formas, obt�m-se as ra�zes: -96, -48 e 32. Arbitrariamente, escolherei w = 32. Definem-se R, D e E, usados para construir as ra�zes da equa��o em x: R = sqrt(8^2/4 - (-112) + 32) = 4*sqrt(10) D = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) + + (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) - 4*sqrt(2) E = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) - - (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) + 4*sqrt(2) x_1 = -8/4 + R/2 + D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2) x_2 = -8/4 + R/2 - D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2) x_3 = -8/4 - R/2 + E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2) < 0 (n�o conv�m) x_4 = -8/4 - R/2 - E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2) < 0 (n�o conv�m) E, como sempre ocorre nesses casos, y = 16/x_1 = x_2 ou y = 16/x_2 = x_1. Logo, entendendo "o valor total de seus catetos" como a soma dos tais catetos, (x_1+4)+(x_2+4) = 12+4*sqrt(10). � isso. Abra�os, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: Douglas Ribeiro Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 19, 2004 7:21 PM Subject: RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Ah... ainda bem que alguem mandou um e-mail sobre esse problema porque eu j� estava me esquecendo de perguntar isso... Vi a bela resolu��o do Cl�udio para este problema, mas heis a quest�o... e se em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto � hipotenusa, tiv�ssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos? Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a quest�o, mas sempre ca� numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadrada bonitinha, mas os termos n�o se anularam. Gostaria que algu�m mandasse a resolu��o desse jeito, se � que � poss�vel resolver sem usar Cardano-Tartaglia. Um abra�o, Douglas Ribeiro ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
