Pessoal , esse probleminha eu tirei da RPM , gostaria que vcs analisassem minha solu�ao.
Dados x e y n�meros inteiros positivos , mostre que se x^2 + xy + y^2 � divisivel por 10 ent�o � divis�vel por 100
Solu��o:
Observe que x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy . Obviamente x e y devem ser pares caso contrario a congru�ncia (x+y)^2 = xy modulo 10 seria imposs�vel , da� a
express�o (x+y)^2 - xy � divis�vel por 4 . Suponha agora x = a modulo 5 e x = b modulo 5 , onde a,b pertencem ao conjunto { 1, 2 , 3 , 4 } . � f�cil verificar que nenhum dos pares ( a , b) � solu��o
da congru�ncia (x+y)^2 = xy modulo 5 por verifica��o direta tamb�m n�o podemos ter a = 0 modulo 5 e b n�o divis�vel por 5 ou vice versa . Assim so � poss�vel que (x+y)^2 = xy modulo 5 se x = 0 modulo 5 e y = 0 modulo 5 , mas neste caso a express�o (x+y)^2 - xy � divisivel por 25 . Como 4 e 25 s�o primos entre si ent�o (x+y)^2 - xy � divis�vel por 100.
Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil.
Abra sua conta agora!
