Esta e do famoso Tournament of Towns
-- Mensagem original --
>Pessoal , esse probleminha eu tirei da RPM , gostaria que vcs analisassem
>minha solu�ao.
>
>Dados x e y n�meros inteiros positivos , mostre que se x^2 + xy +
y^2
> � divisivel por 10 ent�o � divis�vel por 100
>
>Solu��o:
>
> Observe que x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy . Obviamente x
e
>y devem ser pares caso contrario a congru�ncia (x+y)^2 = xy modulo
10
> seria imposs�vel , da� a express�o (x+y)^2 - xy � divis�vel por
>4 . Suponha agora x = a modulo 5 e x = b modulo 5 , onde a,b
pertencem
>ao conjunto { 1, 2 , 3 , 4 } . � f�cil verificar que nenhum dos pares
> ( a , b) � solu��o da congru�ncia (x+y)^2 = xy modulo 5 por verifica��o
>direta tamb�m n�o podemos ter a = 0 modulo 5 e b n�o divis�vel por 5
ou
>vice versa . Assim so � poss�vel que (x+y)^2 = xy modulo 5 se
> x = 0 modulo 5 e y = 0 modulo 5 , mas neste caso a express�o
> (x+y)^2 - xy � divisivel por 25 . Como 4 e 25 s�o primos entre
si
> ent�o (x+y)^2 - xy � divis�vel por 100.
>
>
>
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