On Wed, Mar 17, 2004 at 03:00:15PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: > Mas o que acontece se a ordem for diferente? > > Por exemplo, suponha que particionamos os reais (R) em racionais (Q) e > irracionais (R - Q) e definimos uma ordem (<#) tal que: > 1) se x, y pertencem a Q ou x, y pertencem a R - Q, então: > x <# y <==> x < y (ordem usual) > 2) se x pertence a R - Q e y pertence a Q, então x <# y. > > Ou seja, cada irracional é menor do que cada racional e dois irracionais ou > dois racionais são comparados da forma usual. > > Agora considere o conjunto A = { -raiz(2)/n | n é inteiro positivo}. Cada > elemento de A é irracional. Logo, A é limitado superiormente (por exemplo, > por cada racional). Pergunta: Qual o supremo de A?
Não tem supremo, claro. Mas o que você fez foi um pouco violento demais. Você definiu uma ordem que não respeita as operações + e *: dessa forma, a única coisa que sobra é a cardinalidade e você pode botar um monte de ordens completamente diferentes nos reais. Você pode, por exemplo, fazer com que R fique bem ordenado (todo subconjunto não vazio tem mínimo). No caso dos reais, a única relação de ordem que faz de R um corpo ordenado é a usual. Isto também acontece para o conjunto dos reais algébricos mas não acontece para, por exemplo Q[sqrt(2)]. Neste outro corpo existe uma outra ordem (além da definida pela inclusão em R) que também satisfaz os axiomas de corpo ordenado, e acho que vocês não terão dificuldade em encontrá-la. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================