Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS em 1999:
Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma: a -b b a onde a e b sao numeros reais. Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I. []s, Claudio. on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: > on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Pessoal, >> >> Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um >> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da >> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos >> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em >> processos que transformam as características geométricas dos números >> complexos em algo simples. >> >> Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de >> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? >> > Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos > munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto > dos racionais com adicao e multiplicacao). > > Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y) = > f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A. > > No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais - > adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita > acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes. > > Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz: > a -b > b a > eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2. > Uma das raizes eh justamente a + bi. > > A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos > quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo" > corpo. > > []s, > Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================