É dado que X ~ U[-pi, pi] e considere as v.a Y = senX , Z = cosX
Pergunta: As v.a Y,Z são independentes?

Bem, creio que preciso provar que para qualquer a e b
P(Y <= a, Z <= b) = P(Y <= a)*P(Z <= b) se valer são independentes, se existir um contra exemplo elas não são.


Pensando em algums exemplos como por exemplo
P(Y <= 0) = P(-PI <= X <= 0) = PI*(1/2*PI) = 1/2

P(Z <= 1/2) = P(-PI <= X <= -PI/3) + P(PI/3 <= X <= PI) = 2*(2*PI/3)*(1/2*PI) = 2/3

P(Y <= 0, Z <= 1/2) = P(-PI <= X <= -PI/3) = 1/3

Me parece que sao independentes...mas como provar genericamente que para qualquer a e b a relacao vale? Tentei por trigonometria mas parece que nao saiu nada. Alguem tem ideias? Solucoes?

Obrigado

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