Guilherme, Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 n�o s�o m�ltiplos de 11. Mas quais ser�o os mais pr�ximos?
11*9 = 99, que n�o pertence ao intervalo 11*10 = 110, que pertence no intervalo Ent�o, j� sabemos que o primeiro m�ltiplo de 11 no intervalo � 110. Analogamente: 11*90 = 990, que pertence no intervalo 11*91 = 1001, que n�o pertence ao intervalo Pronto, montamos a nossa seq��ncia: 110, ..., 990 Se 110 � o primeiro termo, qual � a posi��o de 990? 990 = 110 + (n-1)*11 ==> n = 81 Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto �, h� 81 m�ltiplos de 11 entre 100 e 1000. Sobre o problema 2, vamos passar para o "matematiqu�s": a_1 + a_2 = 5 a_9 + a_10 = 53 Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que precisamos saber? Certamente, o primeiro termo e a raz�o. Ent�o, reescreveremos as equa��es anteriores em fun��o deles: a_1 + a_1 + r = 5 a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53 Ou ainda, 2a_1 + r = 5 (I) 2a_1 + 17r = 53 (II) Como queremos saber apenas a raz�o, eliminamos 2a1, assim: (II) - (I): 17r - r = 53 - 5 ==> 16r = 48 ==> r = 3 O terceiro problema � o mais interessante dos tr�s. Vamos escrever as seq��ncias e calcular o �ltimo termo de ambas: 5, 8, 11, ..., 302 (302 = 5 + 99*3) 3, 7, 11, ..., 399 (399 = 3 + 99*4) J� sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a segunda seq��ncia cresce mais rapidamente que a primeira ap�s o terceiro termo. Assim, vamos procurar qual � o termo da segunda seq��ncia mais pr�ximo do �ltimo da primeira: 302 = 3 + (n-1)*4 ==> n = 75,75 Vemos que o termo mais pr�ximo � o septuag�simo quinto. Vamos calcul�-lo: a_75 = 3 + 74*4 = 299 N�o deve ser por acaso que o nonag�simo nono termo da primeira seq��ncia � 299 tamb�m, pois 302 - 3 = 299. Assim, j� encontramos o primeiro e o �ltimo termos que s�o iguais para ambas seq��ncias: 11, ..., 299 Agora, vamos pensar: a_n = 5 + (n - 1)*3 <==> a_n - 5 = (n - 3)*3 b_n = 3 + (n - 1)*4 <==> b_n - 3 = (n - 1)*4. Generalizando, x_m = x_n + (m - n)*r <==> x_m - x_n = (m - n)*r Se ainda n�o parecer claro o que estou pretendendo, l� vai: a diferen�a entre dois termos de uma P.A. � um m�ltiplo da raz�o; para que os termos das seq��ncias se "encontrem" (sejam iguais), eles devem ser m�ltiplos de uma mesma raz�o, no nosso caso, 3 e 4. Humm... m�ltiplos de um mesmo n�mero... m�ltiplo comum! Sim, � isso! Tudo se passa como se dentro da nossa �ltima seq��ncia (11, ..., 299) tiv�ssemos "despejado" uma seq��ncia de raz�o 12, pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica f�cil. Qual � a posi��o do �ltimo termo 299? 299 = 11 + (n - 1)*12 ==> n = 288/12 + 1 = 25 Logo, 25 termos s�o iguais para as duas seq��ncias. Quais s�o eles? 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239, 251, 263, 275, 287, 299 Tudo bem, o Mathematica deu uma m�ozinha... ;-D Abra�os, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: Guilherme Teles To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM Subject: [obm-l] algumas duvidas de PA 1 - Quantos multiplos de 11 existem entre 100 e 1000 2 - Determine a raz�o de uma PA com dez termos, sabendo que a soma dos dois primeiros � 5 e a soma dos dois ultimos � 53 3 - As progress�es aritmeticas 5, 8, 11, .... e 3, 7, 11, .... tem 100 numeros cada uma. Determine o numero de termos iguais nas duas progress�es ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
