Olà Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expressÃes com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando sÃo realizadas as reduÃÃes para expressÃes com
radicais simples equivalentes. Existe uma fÃrmula para a reduÃÃo, mas o importante
à entender como deduzi-la, pois o raciocÃnio à muito simples.
ReduÃÃo de radicais duplos em radicais simples equivalentes
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Dada a expressÃo com radicais duplos â(a + âb), com a e b racionais, âb
irracional e a + âb positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais
que: â(a + âb) = âx1 + âx2.
Observe que de acordo com as condiÃÃes dadas, ambos os membros da igualdade sÃo
positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da
igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua
vÃlida.
[â(a + âb)]Â = (âx1 + âx2)Â
a + âb = x1 + 2âx1âx2 + x2
a + âb = (x1 + x2) + â(4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e âb irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 sÃo raÃzes da seguinte equaÃÃo quadrÃtica:
x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
Π= (-a) - 4.1.(b/4) <=> Π= a - b
Sendo assim, a nossa expressÃo somente poderà ser reduzida a radicais simples se o
discriminante (a - b) for um quadrado de um racional. Se esta condiÃÃo for
satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + â(a - b)] / 2 = [a + â(a - b)] / 2
x2 = [-(-a) - â(a - b)] / 2 = [a - â(a - b)] / 2
Ou vice-versa.
ConclusÃo:
A expressÃo com radicais duplos â(a + âb), com a e b racionais, âb irracional e
a + âb positivo, pode ser transformada em uma expressÃo com radicais simples quando
a - b for um quadrado de um racional. A transformaÃÃo à dada pela seguinte
fÃrmula:
â(a + âb) = â{[a + â(a - b)] / 2} + â{[a - â(a - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expressÃo com radicais duplos
â(a - âb), com a e b racionais, âb irracional e a - âb positivo, pode ser
transformada em uma expressÃo com radicais simples quando a - b for um quadrado de
um racional. A transformaÃÃo à dada pela seguinte fÃrmula:
â(a - âb) = â{[a + â(a - b)] / 2} - â{[a - â(a - b)] / 2}
ResoluÃÃo do problema proposto:
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Simplifique a expressÃo:
(2 + â3) / [â2 + â(2 + â3)] + (2 - â3) / [â2 - â(2 - â3)]
Vamos verificar se à possÃvel reduzir as expressÃes com radicais duplos para
expressÃes com radicais simples.
Na expressÃo â(2 + â3), temos a = 2 e b = 3. Como a - b = 4 - 3 = 1, que à o
quadrado de um racional (1 = 1Â), a transformaÃÃo à possÃvel.
â(2 + â3) = â[(2 + 1) / 2] + â[(2 - 1) / 2] = â(3/2) + â(1/2) = â3/â2
+ 1/â2
Analogamente, teremos:
â(2 - â3) = â3/â2 - 1/â2
Logo:
(2 + â3) / [â2 + â(2 + â3)] + (2 - â3) / [â2 - â(2 - â3)] =
= (2 + â3) / [â2 + (â3/â2 + 1/â2)] + (2 - â3) / [â2 - (â3/â2 -
1/â2)] =
= (2 + â3) / [(2 + â3 + 1)/â2] + (2 - â3) / [(2 - â3 + 1)/â2] =
= â2(2 + â3) / (3 + â3) + â2(2 - â3) / (3 - â3) =
= [â2(2 + â3)(3 - â3) + â2(2 - â3)(3 + â3)] / [(3 + â3) (3 - â3)] =
= [â2(6 - 2â3 + 3â3 - 3) + â2(6 + 2â3 -3â3 - 3)] / (9 - 3) =
= â2[(3 + â3) + (3 - â3)] / 6 = 6â2 / 6 = â2
Portanto, a expressÃo simplificada à igual a â2.
Atenciosamente,
RogÃrio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
errado...
(2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
Daniel S. Braz
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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