Ol� Rafael,
Pode ficar tranq�ilo, pois eu n�o fiquei ofendido em momento algum.
Quando eu disse que n�o havia entendido o objetivo dos seus coment�rios, foi
exatamente por eles n�o terem fundamento. Por�m, eu estou certo de que voc�
teve a melhor das inten��es, pois o objetivo de um grupo de discuss�es � a
ajuda m�tua. Se voc� achou que eu havia cometido um erro, ent�o procedeu
corretamente.
Pe�o desculpas se fui rude em meus coment�rios, mas a inten��o � que
ficasse claro para os participantes do grupo que eu havia procurado ser o
mais rigoroso e preciso poss�vel nas minhas considera��es. Ao atingirmos um
determinado n�vel em Matem�tica, eu acho muito importante que n�s
questionemos tudo aquilo que lemos, afinal de contas h� muitos erros em
livros de Matem�tica.
Para mim est� tudo esclarecido e espero que este mal entendido n�o
atrapalhe as nossas discuss�es sobre Matem�tica. Pode se sentir a vontade
para comentar os meus e-mails que eu estarei sendo mais cordial daqui para
frente.
Abra�os,
Rog�rio.
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Rafael
Sent: sexta-feira, 16 de abril de 2004 04:01
To: OBM-L
Subject: Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Caro Rog�rio,
Eu n�o consegui entender o que voc� n�o entendeu: qual seria o objetivo de
um coment�rio a n�o ser emitir uma opini�o que pode ou n�o ter algum
fundamento? N�o me queira mal, por favor. Voc� nem sequer precisaria ter
mutilado o meu min�sculo coment�rio para coment�-lo...
N�o, voc� n�o escreveu que 'a' e 'b' deveriam ser distintos e, em momento
algum, disse que o havia feito. Salientiei, e espero que voc� tenha
compreendido, que o trecho escrito por voc� estava entre aspas.
Sim, voc� me deu um contra-exemplo sobre o qual eu n�o havia pensado e que
eu encaminharei para o autor do livro que escreveu esses absurdos.
Tudo esclarecido? Espero que sim.
Obrigado,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message -----
From: "Rog�rio Moraes de Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, April 15, 2004 12:36 PM
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ola Rafael,
Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios.
De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte.
Seu comentario:
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"Se a e b s�o racionais distintos, ent�o a^2 � racional e a^2 - b �
racional.".
Meu comentario:
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No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser
distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b
serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e'
consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e
multiplicacao do conjunto dos numeros racionais.
Seu comentario:
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"Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-� sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma
ou diferen�a de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) ser�
irracional."
Meu comentario:
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Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo,
segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e'
falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b
= (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) =
3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) ser�
irracional esta' errada.
Seu comentario:
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"Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um n�mero inteiro
n�o-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) s�o
*naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo."
Meu comentario:
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Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de
radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam
naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais
simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros.
No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 -
b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9)
= 2/3.
Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como
segue:
sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2]
sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2)
De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao.
Abracos,
Rog�rio Moraes de Carvalho
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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