Bom dia! Um colega apresentou estes problemas na semana passada mas acho que ainda naum obteve resposta aqui na lista. Eu creio que consegui uma saida para o primeiro, o da base de Schauder. Alias, ateh o colega apresentar o problema, eu nunca tinho ouvido falar em base de Schauder e nem mesmo no proprio Schauder. Vivendo e aprendendo. Naum encontrei a prova que ele queria, assim aqui vai a minha ideia.
Suponhamos que X seja um espaco vetorial sobre o corpo dos reais. De acordo com a definicao de base de Schauder,todo x de X pode ser representado por uma combinacao linear infinita dos vetores {e_n}. Mais precisamente, x eh o limite da serie infinita Soma (ax_n * e_n), onde cada ax_n eh um numero real (de forma mais geral, cada ax_n) eh um escalar do corpo sobre o qual X eh construido). A letra x foi introduzida para enfatizar que os escalares da serie dependem de x. Como para cada x a dada serie converge para x, a sequencia de suas somas parciais tambem converge para x. Escolhendo-se n suficientemente grande podemos, portanto, fazer com que ||S_n - x|| <eps para todo eps>0 arbitrariamente escolhido, sendo S_n a soma parcial de indice n. Definamos D como o conjunto de todas as combinacoes lineares dos e_n, isto eh, D = {c1 * e_1 ...+ c_n * e_n | n eh natural, c_n estah em R}. Temos entao que D eh denso em X, pois D engloba as combinacoes lineares correspondentes aos termos das somas parciais da base de Schauder para cada x de X. D, entretanto, naum eh enumeravel, pois os reais naum o sao. Mas, como os racionais sao enumeraveis e densos em R, o conjunto D' ={c1 * e_1 ...+ c_n * e_n | n eh natural, c_n eh racional}, ou seja, o conjunto das combinacoes linears racionais dos e_n, eh enumeravel eh tambem denso em X. Assim, X contem um conjunto denso e enumeravel, sendo portanto separavel. Se X for um corpo sobre os complexos, podemos tomar o conjunto das combinacoes lineares cujos coeficientes sao complexos com parte real e imaginaria racionais. De modo geral, sde X for um espaco vetorial sobre um corpo C e C for separavel (na metrica nele definida), entao X eh separavel, pois podemos escolher o conjunto composto pelas combinacoes lineares com escalares pertencentes a um subconjunto denso e enumeravel de C. Acho que estah OK. Ainda naum pensei no outro problema. Artur --- [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá, > > preciso de ajuda nesses dois problemas.. se alguém > puder ajudar, agradeço. > > 1) Mostre que se um espaço métrico normado possui > uma base de Schauder então > ele é separável. > > 2) Mostre que em um espaço métrico normado, se > convergência absoluta implicar > convergência então o espaço é completo (de Banach) > > obs: um espaço métrico é separável se possui um > subconjunto denso e enumerável. > obs2: um espaço métrico normado possui uma base de > Schauder se este contem > uma sequencia (e_n) tal que para todo elemento x do > espaço, existe uma sequencia > única (a_n) tal que || x - soma(a_k . e_k, k=1,..,n) > || -> 0 quando n -> > infinito. > > obrigado. > > Gabriel Haeser. > > > > ------------------------------------------ > Use o melhor sistema de busca da Internet > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Tax Center - File online by April 15th http://taxes.yahoo.com/filing.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================