Acho que nao da' nao. Nao existe nem uma funcao g (nesse caso g=f') derivavel de [0,infinito) em R com g'(t)+(g(t))^2 < -1 para todo t grande: nesse caso teriamos g'(t) < -1 para todo t grande, donde g(t) tende a -infinito quando t-> infinito, e logo, para t grande, g(t) e' negativo, mas tambem teriamos g'(t)/g(t)^2 < -1 para todo t grande, ou seja, (1/g(t))' > 1, donde 1/g(t) deve tender a +infinito, absurdo. E' claro que podemos trocar -1 por qualquer coisa negativa... Abracos, Gugu
> >on 13.04.04 17:39, Danilo notes at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > >Pessoal ser=E1 que algu=E9m pode me ajudar no problema abaixo ? > >Construir uma fun=E7=E3o f de classe C^1 definida no intervalo [ 0 , >infinito ) e tal que w(t) =3D (derivada segunda de f(t) ) + ( derivada >primeira de f(t) ) ^ 2 tende a menos infinito quando t tende a mais >infinito =20 > >Abs. =20 > > >Oi, Danilo: > >Ainda nao consegui achar uma funcao que satisfaca ao enunciado, mas achei >uma que chega perto: > >f : [0,+infinito) -> R, definida por: >f(0) =3D 0; >f(t) =3D sen(t^2)/t se t > 0 > >f eh continua em t =3D 0. > >Para t > 0, (f(t) - f(0))/(t - 0) =3D sen(t^2)/t^2 =3D=3D> >f'(0+) =3D lim(t -> 0+) (f(t) - f(0))/(t - 0) =3D 1 > >Alem disso, se t > 0, f'(t) =3D 2*cos(t^2) - sen(t^2)/t^2 =3D=3D> >lim(t -> 0) f'(t) =3D 1 =3D=3D> >f' eh continua para t >=3D 0 =3D=3D> >f eh de classe C^1. > >t > 0 =3D=3D> f''(t) =3D -4*t*sen(t^2) - 2*cos(t^2)/t + 2*sen(t^2)/t^3 > >Assim, vemos que f'(t) eh limitada e que f''(t) atinge valores >arbitrariamente pequenos (ou seja, negativos e de modulo arbitrariamente >grande). Logo, f''(t) + (f'(t))^2 tambem atinge valores arbitrariamente >pequenos, apesar de nao tender a -infinito quando t tende a +infinito pois >sen(t^2) se anula para infinitos valores de t (mais precisamnte, para todo = >t >da forma raiz(k*Pi), com k inteiro positivo). > > >[]s, >Claudio. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================