Acho que no enunciado está claro que as figuras obtidas (os quadriláteros ABMN e NMDC) DEVEM ser trapézios e, portanto devem ter exatamente um par de lados paralelos. Se MN não é paralelo à s bases as figuras encontradas não são trapézios. []'s MP Em Seg, 2004-05-03 à s 17:07, Rogério Moraes de Carvalho escreveu: > Eu já havia resolvido este problema e, se não me engano, ele caiu em > uma das provas do Colégio Naval. Porém, ao ler o enunciado fornecido pelo > Victor, eu estranhei a omissão da informação de que o segmento MN que divide > o trapézio em dois outros trapézios equivalentes é paralelo à s bases AB e > CD. A fim de garantir que a ausência desta informação não garante a > unicidade do cálculo da medida do segmento MN em função de a e b, eu > formulei uma outra questão para utilizá-la como um contra-exemplo. > > > Vamos ao enunciado da questão que eu formulei baseando-me no problema > fornecido pelo Victor: > > Seja ABCD um trapézio retângulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ângulo > interno formado entre o lado BC e a base CD é igual a 60°. Dados os pontos M > e N, pertencentes aos lados não-paralelos, tais que o segmento MN divide > esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN para cada um > dos dois casos apresentados abaixo. > > Primeiro caso: MN é perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5)) > Segundo caso: MN forma um ângulo de 30° com o prolongamento da base AB no > sentido de B para A. (Resposta: sqr(10)) > > > A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas estão corretas, eu > desenvolvi mais de uma solução para cada caso, sendo que uma delas foi por > Geometria AnalÃtica. > > A resolução apresentada pelo Boromir corresponde a uma das soluções que eu > havia desenvolvido para o problema original, porém ela somente tem validade > se no enunciado for informado que o segmento MN é paralelo à s bases AB e CD, > o que não foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o > enunciado para que a resolução do Boromir seja válida e, na seqüência, eu > apresentarei uma resolução alternativa. > > > > ENUNCIADO MODIFICADO: > > Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N > pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN é paralelo à s bases e > divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em > função dos lados AB = a e CD = b. > > > RESOLUÇÃO ALTERNATIVA: > > Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b > a, > MN = x, H a distância entre a AB e MN e h a distância entre MN e CD. Também > considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC. > > Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vértice B do trapézio, de modo a > interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo, > ABEM e MEFD são paralelogramos, conseqüentemente tem os lados opostos > congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a. > MN = ME + EN => x = a + EN => EN = x - a > DC = DF + FC => b = a + FC => FC = b - a > > Triângulo BEN ~ Triângulo BFC (Critério AA~): > FC/EN = (H + h)/ H => (b - a)/(x - a) = 1 + h/H => > => (b - x)/(x - a) = h/H (i) > > De acordo com os dados, os trapézios ABNM e MNCD são equivalentes, logo: > S[ABNM] = S[MNCD] => (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h => > => (x + a)/(b + x) = h/H (ii) > > Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii): > (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) => x^2 - a^2 = b^2 - x^2 => > => 2x^2 = a^2 + b^2 => x = sqr[(a^2 + b^2)/2] > > Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2] > > > > Aplicando a fórmula encontrada para resolver o problema do trapézio > retângulo com bases AB = 1 e CD = 3 e <BCD = 60°, apresentado acima, > teremos: > MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5) > > Observe que o valor encontrado na aplicação da fórmula coincide com o valor > encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso. > Portanto, a informação de que MN é paralelo à s bases é necessária para > garantir a unicidade do comprimento de MN em função de a e b, uma vez que > com diferentes inclinações podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2 > + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN. > > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação > [EMAIL PROTECTED] > > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of boromir > Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) > > Ajeitei o texto (embora não tenha usado nenhum caracter especial) eu tb > recebi a mensagem truncada. > []'s MP > > > > ================= > >De:"Fellipe Rossi" <[EMAIL PROTECTED]> > >Para:<[EMAIL PROTECTED]> > >Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) > > > >Boromir não consigo entender nada da mensagem > >Talvez voce esteja usando mtos caracteres > >"especiais"... > > MEnsagem alterada: > > Vamos considerar a < b. Seja ainda P o ponto de encontro dos prolongamentos > dos lados não paralelos DA e CB. Conforme o enunciado, [ABNM]=[NMDB] = S. > ([figura] = área do figura) > > Vamos considerar [APB]=K. > APB ~ MPN (razão a/x, onde MN = x). A razão entre as áreas é o quadrado da > razão de semelhança, portanto (K+S)/K = (x/a)^2. > > Ainda temos que > APB~DPC (razão a/b), portanto (K+2S)/K = (b/a)^2. > > Escrevendo melhor as equações acima, temos: > 1 + S/K = x²/a² -> S/K = (x²-a²)/a² > 1 + 2S/K = b²/a² -> 2S/K = (b²-a²)/a² > > Dividindo a segunda pela primeira equação temos: > 2(x²-a²) = b²-a² > 2x²=b²+a² > x = SQRT{(a²+b²)/2} > > Se eu não errei as contas acho que é isso. > []'s MP > > > *************************************************************************** > > Em Ter, 2004-04-27 à s 18:42, Victor Machado escreveu: > > Bom, esta questão foi um desafio para mim, não sei para os senhores: > > Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N > pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN divide esse trapézio > em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em função dos lados AB = a > e CD = b. > > Victor. > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= >
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================