Està certÃssimo! A falha foi minha.
Eu nÃo havia atentado para o fato de obter dois outros "trapÃzios" equivalentes. Eu li como se fossem dois outros "quadrilÃteros" equivalentes. Isto porque a questÃo que eu havia resolvido informava que o segmento MN era paralelo Ãs bases do trapÃzio ABCD ao invÃs de que ele dividia em dois outros trapÃzios equivalentes, o que vai dar na mesma. AbraÃos, RogÃrio Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da InformaÃÃo [EMAIL PROTECTED] -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Boromir Sent: terÃa-feira, 4 de maio de 2004 22:50 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Acho que no enunciado estàclaro que as figuras obtidas (os quadrilÃÂteros ABMN e NMDC) DEVEM ser trapÃÂzios e, portanto devem ter exatamente um par de lados paralelos. Se MN nÃÂo àparalelo à s bases as figuras encontradas nÃÂo sÃÂo trapÃÂzios. []'s MP Em Seg, 2004-05-03 à s 17:07, RogÃÂrio Moraes de Carvalho escreveu: > Eu jàhavia resolvido este problema e, se nÃÂo me engano, ele caiu em > uma das provas do ColÃÂgio Naval. PorÃÂm, ao ler o enunciado fornecido pelo > Victor, eu estranhei a omissÃÂo da informaÃÂÃÂo de que o segmento MN que divide > o trapÃÂzio em dois outros trapÃÂzios equivalentes àparalelo à s bases AB e > CD. A fim de garantir que a ausÃÂncia desta informaÃÂÃÂo nÃÂo garante a > unicidade do cÃÂlculo da medida do segmento MN em funÃÂÃÂo de a e b, eu > formulei uma outra questÃÂo para utilizÃÂ-la como um contra-exemplo. > > > Vamos ao enunciado da questÃÂo que eu formulei baseando-me no problema > fornecido pelo Victor: > > Seja ABCD um trapÃÂzio retÃÂngulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ÃÂngulo > interno formado entre o lado BC e a base CD àigual a 60ÃÂ. Dados os pontos M > e N, pertencentes aos lados nÃÂo-paralelos, tais que o segmento MN divide > esse trapÃÂzio em dois outros trapÃÂzios equivalentes, calcule MN para cada um > dos dois casos apresentados abaixo. > > Primeiro caso: MN àperpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5)) > Segundo caso: MN forma um ÃÂngulo de 30àcom o prolongamento da base AB no > sentido de B para A. (Resposta: sqr(10)) > > > A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas estÃÂo corretas, eu > desenvolvi mais de uma soluÃÂÃÂo para cada caso, sendo que uma delas foi por > Geometria AnalÃÂtica. > > A resoluÃÂÃÂo apresentada pelo Boromir corresponde a uma das soluÃÂÃÂes que > eu > havia desenvolvido para o problema original, porÃÂm ela somente tem validade > se no enunciado for informado que o segmento MN àparalelo à s bases AB e CD, > o que nÃÂo foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o > enunciado para que a resoluÃÂÃÂo do Boromir seja vÃÂlida e, na > seqÃÂÃÂncia, eu > apresentarei uma resoluÃÂÃÂo alternativa. > > > > ENUNCIADO MODIFICADO: > > Dado um trapÃÂzio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N > pertencentes aos lados nÃÂo-paralelos. Se o segmento MN àparalelo à s bases e > divide esse trapÃÂzio em dois outros trapÃÂzios equivalentes, calcule MN em > funÃÂÃÂo dos lados AB = a e CD = b. > > > RESOLUÃâÃÆO ALTERNATIVA: > > Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b > a, > MN = x, H a distÃÂncia entre a AB e MN e h a distÃÂncia entre MN e CD. TambÃÂm > considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC. > > Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vÃÂrtice B do trapÃÂzio, de modo a > interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo, > ABEM e MEFD sÃÂo paralelogramos, conseqÃÂentemente tem os lados opostos > congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a. > MN = ME + EN => x = a + EN => EN = x - a > DC = DF + FC => b = a + FC => FC = b - a > > TriÃÂngulo BEN ~ TriÃÂngulo BFC (CritÃÂrio AA~): > FC/EN = (H + h)/ H => (b - a)/(x - a) = 1 + h/H => > => (b - x)/(x - a) = h/H (i) > > De acordo com os dados, os trapÃÂzios ABNM e MNCD sÃÂo equivalentes, logo: > S[ABNM] = S[MNCD] => (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h => > => (x + a)/(b + x) = h/H (ii) > > Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii): > (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) => x^2 - a^2 = b^2 - x^2 => > => 2x^2 = a^2 + b^2 => x = sqr[(a^2 + b^2)/2] > > Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2] > > > > Aplicando a fÃÂrmula encontrada para resolver o problema do trapÃÂzio > retÃÂngulo com bases AB = 1 e CD = 3 e <BCD = 60ÃÂ, apresentado acima, > teremos: > MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5) > > Observe que o valor encontrado na aplicaÃÂÃÂo da fÃÂrmula coincide com o valor > encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso. > Portanto, a informaÃÂÃÂo de que MN àparalelo à s bases ànecessÃÂria > para > garantir a unicidade do comprimento de MN em funÃÂÃÂo de a e b, uma vez que > com diferentes inclinaÃÂÃÂes podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2 > + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN. > > > Atenciosamente, > > RogÃÂrio Moraes de Carvalho > Consultor e Instrutor de Tecnologias da InformaÃÂÃÂo > [EMAIL PROTECTED] > > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of boromir > Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) > > Ajeitei o texto (embora nÃÂo tenha usado nenhum caracter especial) eu tb > recebi a mensagem truncada. > []'s MP > > > > ================= > >De:"Fellipe Rossi" <[EMAIL PROTECTED]> > >Para:<[EMAIL PROTECTED]> > >Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) > > > >Boromir nÃÂo consigo entender nada da mensagem > >Talvez voce esteja usando mtos caracteres > >"especiais"... > > MEnsagem alterada: > > Vamos considerar a < b. Seja ainda P o ponto de encontro dos prolongamentos > dos lados nÃÂo paralelos DA e CB. Conforme o enunciado, [ABNM]=[NMDB] = S. > ([figura] = ÃÂrea do figura) > > Vamos considerar [APB]=K. > APB ~ MPN (razÃÂo a/x, onde MN = x). A razÃÂo entre as ÃÂreas ào quadrado > da > razÃÂo de semelhanÃÂa, portanto (K+S)/K = (x/a)^2. > > Ainda temos que > APB~DPC (razÃÂo a/b), portanto (K+2S)/K = (b/a)^2. > > Escrevendo melhor as equaÃÂÃÂes acima, temos: > 1 + S/K = xÃÂ/aà-> S/K = (xÃÂ-aÃÂ)/aà> 1 + 2S/K = bÃÂ/aà-> 2S/K = (bÃÂ-aÃÂ)/aà> > Dividindo a segunda pela primeira equaÃÂÃÂo temos: > 2(xÃÂ-aÃÂ) = bÃÂ-aà> 2xÃÂ=bÃÂ+aà> x = SQRT{(aÃÂ+bÃÂ)/2} > > Se eu nÃÂo errei as contas acho que àisso. > []'s MP > > > *************************************************************************** > > Em Ter, 2004-04-27 à s 18:42, Victor Machado escreveu: > > Bom, esta questÃÂo foi um desafio para mim, nÃÂo sei para os senhores: > > Dado um trapÃÂzio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N > pertencentes aos lados nÃÂo-paralelos. Se o segmento MN divide esse trapÃÂzio > em dois outros trapÃÂzios equivalentes, calcule MN em funÃÂÃÂo dos lados AB = a > e CD = b. > > Victor. > > > > > ========================================================================= > InstruÃÂÃÂes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= InstruÃÃes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
