Ola Pessoal,
Prestem atencao na mensagem abaixo... E muito boa !
Um Abraco Paulo Santa Rita 5,2151,060504
From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Uma certa confusao Date: Thu, 6 May 2004 13:34:34 -0700 (PDT) Eu acho que neste problemas sobre derivadas parciais que tem circulado na lista estah havendo uma certa confusao. Os enunciados apenas pressupoem a existencia das derivadas parciais de f:R^n -> R em um conjunto U, aberto e convexo, de R^n. Esta condicao naum permite concluir que f seja diferenciavel em U e, desta forma, nao autoriza concluir que as derivadas direcionais de f existam em todas as direcoes e em todos os pontos s de U. Em razao disto, nao se pode garantir a validade da versao multidimensional do T. do Valor Medio, elemento chave - segundo me parece - para a resolucao dos problemas propostos.
Ainda que assumissemos a existencia das derivadas direcionais em todas as direcoes e em todos os pontos de U, ainda assim creio que nao teriamos garantia da validade do T. do valor Medio. Isto porque aquela conhecida formula que diz que a derivada direcional em um ponto e uma dada direcao eh dada pelo produto interno (ou escalar) do gradiente no ponto pelo vetor unitario na direcao, pode naum valer. Esta formula certamente vigora se f for diferenciavel. Caso contraio, pode ou nao vigorar, naum hah garantia.
Acho que tudo estaria legal se, nos enunciados, a condicao de existencia das derivadas parciais fosse substituida pela mais forte de diferenciabilidade. Lembrando: Dizemos que f eh diferenciavel em um ponto x do R^n, n>=2, se existir uma funcao linear L:R^n -R tal que, para todo vetor h tal que x+h permaneca no dominio de f, tenhamos f(x+h) - f(x) = L(h) + o(||h||), sendo o uma funcao tal que o(h)/(||h||) ->0 quando ||h|| -> 0. Esta funcao L eh chamada de derivada (ou derivada total) de f em x. No caso unidimensional esta funcao eh simplesmente aquela que leva o real h ao real f'(x)*h, e, eh claro, eh entao muito conveniente definirmos f'(x) como um numero e naum como uma funcao linear.
Difenciabilidade implica: continuidade, existencia de todas as derivadas direcionais e validade daquela formula bonita do produto escalar do gradiente pelo unitario na direcao considerada para calculo da derivada direcional.
Existencia de todas as derivadas direcionais (logo das parciais) naum implica diferenciabilidae e nem sequer continuidade. Tambem naum implica validade daquela formula bonita.
A existencia de uma das derivadas parciais em um ponto x (interior ao dominio de f) aliada aa existencia das outras n-1 em uma vizinhanca de x e, ainda, aa continuidade destas n-1 em x, implica diferenciabilidade em x. (condicao naum necessaria).
Se todas as derivadas parciais existirem e forem limitadas em um aberto U, entao f eh Lipschitz - logo uniformemente continua - em U. Mas isto naum implica, contrariamente ao que eu estava achando que fosse verdade, que as derivadas direcionais de f tenham que existir em U.
Artur
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