Gabriel,
Segue uma poss�vel resolu��o para o problema proposto.
Resolu��o:
Sejam P, Q e R os pontos de tang�ncia da circunfer�ncia inscrita nos lados
AB, BC e CA, respectivamente.
Os segmentos com extremidades em um v�rtice e nos pontos de tang�ncia dos
lados que cont�m este v�rtice s�o congruentes. Portanto, podemos escrever:
AP = RA = x
PB = BQ = y
QC = CR = z
Como AB = 8, BC = 5 e CA = 9, teremos:
AB = AP + PB => 8 = x + y (i)
BC = BQ + QC => 5 = y + z (ii)
CA = CR + RA => 9 = z + x (iii)
Adicionando, membro a membro, as igualdades (i), (ii) e (iii), teremos:
2(x + y + z) = 22 => x + y + z = 11 (iv)
Substituindo a igualdade (ii) na (iv):
x + (y + z) = 11 => x + 5 = 11 => x = 6, logo AP = RA = 6 (v)
C�lculo do raio da circunfer�ncia inscrita:
A �rea do tri�ngulo ABC pode ser calculada em fun��o dos lados (a, b, c)
pela f�rmula de Heron:
S = sqr[p.(p - a)(p - b)(p - c)] (vi)
Ou em fun��o dos lados (a, b, c) e do raio da circunfer�ncia inscrita (r)
pela f�rmula:
S = p.r (vii)
Aplicando a propriedade transitiva �s igualdades (vi) e (vii), conclu�mos
que:
p.r = sqr[p.(p - a)(p - b)(p - c)] => r = sqr[p.(p - a)(p - b)(p - c)]/p
(viii)
p = (a + b + c)/2 => p = (8 + 5 + 9)/2 => p = 11
Aplicando a f�rmula (viii):
r = sqr(11.3.6.2)/11 => r = 6.sqr(11)/11 (ix)
Com as informa��es das igualdades (v) e (ix), podemos calcular a �rea
hachurada (S).
Seja I o incentro do tri�ngulo ABC, S[Tri�ngulo API] a �rea do tri�ngulo API
e S[Setor Circular <AIP] a �rea do setor circular com �ngulo central <AIP,
teremos:
S = 2.(S[Tri�ngulo API] - S[Setor Circular <API]) (x)
S[Tri�ngulo API] = AP.PI/2 = x.r/2 = 6.[6.sqr(11)/11]/2 = 18.sqr(11)/11 (xi)
Tri�ngulo API: tg(<PIA) = x/r = 6/[6.sqr(11)/11] = sqr(11) => <PIA =
arctg[sqr(11)] (em radianos)
S[Setor Circular <API] = <PIA.r^2/2 = arctg[sqr(11)].(36/11)/2 = 18.
arctg[sqr(11)]/11 (xii)
Substituindo as igualdades (xi) e (xii) na (x):
S = 2.{18.sqr(11)/11 - 18. arctg[sqr(11)]/11}
S = (36/11).{sqr(11) - arctg[sqr(11)]}
Resposta: A �rea hachurada � igual a (36/11).{sqr(11) - arctg[sqr(11)]}, com
arctg[sqr(11)] dado em radianos.
Obs.: Na resolu��o deste problema foram aplicadas f�rmulas e teoremas bem
conhecidos.
Atenciosamente,
Rog�rio Moraes de Carvalho
[EMAIL PROTECTED]
________________________________________
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of gabriel
Sent: s�bado, 1 de maio de 2004 15:54
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] triangulo
Bom me proporam esta quest�o mas eu achei uma resposta muito
estranha.Gostaria de ver a resolu��o de vcs.Vou mandar uma figura anexa pois
o problema me foi proposto so com a figura sem o enunciado.
Aqui vai
Em um triangulo ABC, AB = 9 , AC = 8 , BC = 5 e nele h� uma circuferencia
inscrita. Qual� a area da regi�o q esta acima do circulo no triangulo pelo
vertice A.
�
�
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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