On Mon, May 03, 2004 at 07:32:24AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> on 03.05.04 02:09, Dafnh�? Thot at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> > Ol�, eu estou com um problema, eu naum consigo provar
> > que a media aritim�tica de tr�s numeros eh maior que a
> > media geom�trica, caso algu�m possa me ajudar.... pelo
> > menos algu�m deve saber algum site que tenha esta
> > demonstra��o... obrigado!!!!
> >
> Mas isso nao eh verdade. Por exemplo:
> (1+1+1)/3 = (1*1*1)^(1/3) = 1
> ou
> ((-1) + (-8) + (-27))/3 = -12 < -6 = ((-1)*(-8)*(-27))^(1/3)
>
> O resultado preciso eh: a media aritmetica de 3 numeros reais nao-negativos
> eh maior ou igual a media geometrica e a igualdade vale se e somente se os
> tres numeros sao iguais.
>
> Sugestao: fatore x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz.
Vou completar a dica do Claudio pq n�o sei se � t�o f�cil assim:
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
Por outro lado
x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = ((x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2)/2.
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Outra possibilidade � escrever a desigualdade assim:
log((x+y+z)/3) >= (log(x) + log(y) + log(z))/3
Isto segue do fato do gr�fico da fun��o log ter sempre
a concavidade para baixo.
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Ainda outra possibilidade � a seguinte.
Voc� parece conhecer o resultado para dois n�meros:
(x+y)/2 >= sqrt(xy)
Da� � f�cil tirar o resultado an�logo para quatro n�meros:
(x1+x2+x3+x4)/4 = (((x1+x2)/2) + ((x3+x4)/2))/2 >=
>= (sqrt(x1x2) + sqrt(x3x4))/2 >=
>= sqrt(sqrt(x1x2) sqrt(x3x4)) = (x1x2x3x4)^(1/4)
e analogamente para 8, 16, 32, 64, ..., 2^n n�meros.
Ora, tanto a m�dia aritm�tica quanto a m�dia geom�trica de tr�s n�meros
y1, y2, y3 s�o muito bem aproximadas por uma m�dia de 2^n n�meros:
tome m c�pias de y1, m c�pias de y2 e m+-1 c�pias de y3 onde 2^n = 3m+-1.
Se para alguma tripla de n�meros a m�dia geom�trica fosse maior do que
a aritm�tica, estes erros poderiam ser tomados como sendo bem menores
do que a diferen�a entre as m�dias, gerando uma contradi��o.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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