On Mon, May 03, 2004 at 07:32:24AM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 03.05.04 02:09, DafnhÅ? Thot at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Olá, eu estou com um problema, eu naum consigo provar > > que a media aritimética de três numeros eh maior que a > > media geométrica, caso alguém possa me ajudar.... pelo > > menos alguém deve saber algum site que tenha esta > > demonstração... obrigado!!!! > > > Mas isso nao eh verdade. Por exemplo: > (1+1+1)/3 = (1*1*1)^(1/3) = 1 > ou > ((-1) + (-8) + (-27))/3 = -12 < -6 = ((-1)*(-8)*(-27))^(1/3) > > O resultado preciso eh: a media aritmetica de 3 numeros reais nao-negativos > eh maior ou igual a media geometrica e a igualdade vale se e somente se os > tres numeros sao iguais. > > Sugestao: fatore x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz.
Vou completar a dica do Claudio pq não sei se é tão fácil assim: x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) Por outro lado x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = ((x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2)/2. ======================================================================== Outra possibilidade é escrever a desigualdade assim: log((x+y+z)/3) >= (log(x) + log(y) + log(z))/3 Isto segue do fato do gráfico da função log ter sempre a concavidade para baixo. ======================================================================== Ainda outra possibilidade é a seguinte. Você parece conhecer o resultado para dois números: (x+y)/2 >= sqrt(xy) Daí é fácil tirar o resultado análogo para quatro números: (x1+x2+x3+x4)/4 = (((x1+x2)/2) + ((x3+x4)/2))/2 >= >= (sqrt(x1x2) + sqrt(x3x4))/2 >= >= sqrt(sqrt(x1x2) sqrt(x3x4)) = (x1x2x3x4)^(1/4) e analogamente para 8, 16, 32, 64, ..., 2^n números. Ora, tanto a média aritmética quanto a média geométrica de três números y1, y2, y3 são muito bem aproximadas por uma média de 2^n números: tome m cópias de y1, m cópias de y2 e m+-1 cópias de y3 onde 2^n = 3m+-1. Se para alguma tripla de números a média geométrica fosse maior do que a aritmética, estes erros poderiam ser tomados como sendo bem menores do que a diferença entre as médias, gerando uma contradição. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================