--- Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > João Silva wrote: > > > - Uma função f : A --> B (em que A é o conjunto > dos numeros reais > > positivos não - nulos e B o conjunto dos reais) é > estritamente crescente > > e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = > f(x) + f(y) . Sabe-se > > ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) > é irracional. O fato de que f(1)=0 eh uma consequencia direta da equacao funcional aa qual f satisfaz. Naum poderia ser de outra forma. Se fizermos x=y =1, concluimos que f(1*1) = f(1) = f(1) + f(1), => f(1) = 0.
> > f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1 > logo f(sqrt(2))=1/2 > > Daí fica claro que uma função f é o log na base 2 > né? A rigor, para chegarmos a estah conclusao acho que precisariamos assumir mais sobre f. Acho que soh a equacao funcional dada naum basta. Se admitirmos diferenciabilidade em um unico elemento de A, aih sim, podemos afirmar que f e a funcao logaritmo na base 2. Assumindo-se que f eo logaritmo na base 2, a irracionalidade de f(3) decorre da conclusao mais geral de que, se m>1 e n>1 sao inteiros e log(n) m (log de m na base n) naum for inteiro, entao log(n) m eh irracional. Esta demonstracao jah foi apresentada aqui na lista, acho que a mensagem tinha titulo "Logaritmo Irracional" Acho que foi por volta de setembro do ano passado. Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================