----- Original Message ----- From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, April 27, 2004 1:52 PM Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - fun�ao
> Jo�o Silva wrote: > > > - Uma fun��o f : A --> B (em que A � o conjunto dos numeros reais > > positivos n�o - nulos e B o conjunto dos reais) � estritamente crescente > > e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se > > ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) � irracional. > > f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1 > logo f(sqrt(2))=1/2 > > Da� fica claro que uma fun��o f � o log na base 2 n�? Pois: > > log2 (1) = 0 > log2 (sqrt(2))=1/2 > log2 (2) = 1 > > log2 (ab) = log2 (a) + log2 (b) > > Ent�o resta provar que log2(3) � irracional. > Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros. > > Mas ent�o 3^q=2^p, e com p,q inteiros isso � imposs�vel. > > Hum.. resta provar que log2 � a �nica fun��o f que > satisfaz o enunciado, isso eu n�o sei fazer. > Oi, Ricardo: Acho que o fato de f ser mon�tona crescente e satisfazer a f(xy) = f(x) + f(y) implica que f � cont�nua. Al�m disso, da mesma forma que na minha mensagem anterior, podemos provar que se r � um racional qualquer, ent�o: f(2^r) = r*f(2) = r. Finalmente, o conjunto dos n�meros da forma 2^r (r racional) � denso em (0,+infinito). (dados a e b com 0 < a < b, tome n = menor inteiro positivo tal que 2^(1/n) < b/a e, uma vez fixado n, tome m = menor inteiro tal que 2^(m/n) > a. Ent�o, 2^((m-1)/n) < a < 2^(m/n) = 2^((m-1)/n)*2^(1/n) < a*2^(1/n) < a*(b/a) = b ). Se g:(0,+infinito) -> R � tal que: g � estritamente crescente; g(xy) = g(x) + g(y) para quaisquer x, y em (0,+infinito); g(1) = 0 e g(2) = 1, ent�o, da mesma forma, g � cont�nua e g(2^r) = r para todo racional r. Assim, a fun��o F:(0,+infinito) -> R dada por: F(x) = f(x) - g(x) � uma fun��o cont�nua que se anula num subconjunto denso em (0,+infinito). Logo, F � identicamente nula e, portanto, f � �nica. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
