on 27.04.04 15:25, Cl�udio (Pr�tica) at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > ----- Original Message ----- > From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Tuesday, April 27, 2004 1:52 PM > Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - fun�ao > > >> Jo�o Silva wrote: >> >>> - Uma fun��o f : A --> B (em que A � o conjunto dos numeros reais >>> positivos n�o - nulos e B o conjunto dos reais) � estritamente crescente >>> e para "x" e "y" pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se >>> ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) � irracional. >> >> f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1 >> logo f(sqrt(2))=1/2 >> >> Da� fica claro que uma fun��o f � o log na base 2 n�? Pois: >> >> log2 (1) = 0 >> log2 (sqrt(2))=1/2 >> log2 (2) = 1 >> >> log2 (ab) = log2 (a) + log2 (b) >> >> Ent�o resta provar que log2(3) � irracional. >> Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros. >> >> Mas ent�o 3^q=2^p, e com p,q inteiros isso � imposs�vel. >> >> Hum.. resta provar que log2 � a �nica fun��o f que >> satisfaz o enunciado, isso eu n�o sei fazer. >> > Oi, Ricardo: > > Acho que o fato de f ser mon�tona crescente e satisfazer a f(xy) = f(x) + > f(y) implica que f � cont�nua. > Al�m disso, da mesma forma que na minha mensagem anterior, podemos provar > que se r � um racional qualquer, ent�o: > f(2^r) = r*f(2) = r. > Finalmente, o conjunto dos n�meros da forma 2^r (r racional) � denso em > (0,+infinito). > (dados a e b com 0 < a < b, tome n = menor inteiro positivo tal que 2^(1/n) > < b/a e, uma vez fixado n, tome m = menor inteiro tal que 2^(m/n) > a. > Ent�o, 2^((m-1)/n) < a < 2^(m/n) = 2^((m-1)/n)*2^(1/n) < a*2^(1/n) < a*(b/a) > = b ). > > Se g:(0,+infinito) -> R � tal que: > g � estritamente crescente; > g(xy) = g(x) + g(y) para quaisquer x, y em (0,+infinito); > g(1) = 0 e g(2) = 1, > ent�o, da mesma forma, g � cont�nua e g(2^r) = r para todo racional r. > > Assim, a fun��o F:(0,+infinito) -> R dada por: > F(x) = f(x) - g(x) > � uma fun��o cont�nua que se anula num subconjunto denso em (0,+infinito). > Logo, F � identicamente nula e, portanto, f � �nica. > > Consegui provar que f eh continua, o que completa a demonstracao de que f eh unica (e, portanto, igual a funcao logaritmo de base 2).
A demonstracao baseia-se nos seguintes fatos: f(4^(1/n)) = 2/n e f(1/4)^(1/n)) = -2/n e n >= 2 ==> (1/4)^(1/n) <= 1 - 1/n e 1 + 1/n < 4^(1/n) Seja a um real positivo. Dado eps > 0, tomemos um inteiro positivo n >= 2 tal que: 1/n < eps/2 <==> 2/n < eps. Entao: |x - a| < a/n ==> |x/a - 1| < 1/n ==> 1 - 1/n < x/a < 1 + 1/n ==> (1/4)^(1/n) < x/a < 4^(1/n) ==> f((1/4)^(1/n)) < f(x/a) < f(4^(1/n)) ==> -2/n < f(x/a) < 2/n |f(x/a)| < 2/n ==> |f(x) - f(a)| < 2/n < eps []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
