On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco medeiros wrote:
> N�o existe uma fun��o real (i.e., de R em R) cont�nua que transforme
> todo n�mero racional num irracional e vice-versa.
Isto � uma aplica��o do teorema de Baire.
Teorema de Baire: a uni�o de uma fam�lia enumer�vel de subconjuntos
fechados de interior vazio de R tamb�m tem interior vazio.
Suponha por absurdo que exista f como acima.
Para cada racional x, seja Ax = {x} e Bx = f^{-1}(Ax).
O conjunto Ax obviamente � fechado de interior vazio.
O conjunto Bx � fechado pois � a imagem inversa de um fechado
por uma fun��o cont�nua e tem interior vazio pois est� contido
nos irracionais. Mas a uni�o de todos os Ax e Bx � R, pois dado
um real y, se y for racional temos y em Ay e se y for irracional
temos y em B(f(y)). Isto contradiz o teorema de Baire, absurdo.
A demonstra��o do teorema de Baire n�o � dif�cil, pode ser encontrada
em bons livros de an�lise ou nos arquivos desta lista.
Existe uma vers�o mais geral do teorema de Baire que fala de outros
espa�os al�m de R.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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