> On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco > medeiros wrote: > > Não existe uma função real (i.e., de R em R) > contínua que transforme > > todo número racional num irracional e vice-versa. > Naum sei se jah responderam aa sua pergunta (provavelmente jah), passei uns dias sem poder olhar a lista. Mas uma forma de mostrarmos o resultado desejado eh considerarmos o fato, consequencia do Teorema de Baire, de que o conjunto dos irracionais nao eh F-sigma, isto eh, naum pode ser dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados de R. Supondo-se que exista uma funcao f conforme a especificada, temos pelas hipoteses feitas que I = f^(-1)(Q), isto eh, os irracionais sao a imagem inversa dos racionais sob a funcao f. Temos ainda que, por ser enumeravel, Q ={q_1,...q_n...} = Uniao {q_n}. Conforme sabemos, cada {q_n} eh um fechado com interior vazio. As propriedades da imagem inversa de funcoes leva-nos entao a que I = Uniao f^(-1)({q_n}, e a continuidade de f implica que cada f^(-1)({q_n}) seja fechado em R. Concluimos assim que I eh F-sigma, condicao a que I, comprovadamente, naum satisfaz. Desta contradicao concluimos que naum existe uma funcao com as caracteristicas dadas. Eh facil ver que I nao pode ser F-sigma. Inicialmente, verificamos que, por ser enumeravel, Q eh "magro" (em R, assim como em todo espaco metrico completo que naum contenha pontos isolados, conjuntos enumeraveis sao sempre magros, isto eh, sao dados por uma uniao enumeravel de conjuntos cujos fechos tem interior vazio). Como R nao eh magro (eh um aberto nao vazio em um espaco de Baire) e R = Q Uniao I, temos que I nao pode ser magro, ou R tambem o seria (unioes enumeraveis ou finitas de conjuntos magros sao magras). Se I for dado por uma uniao enumeravel {F_n} de fechados, entao, como I tem interior vazio, o mesmo necessariamente sucede para todos os F_n (se um deles contivesse um aberto nao vazio, entao a uniao deles tambem conteria este aberto e, desta forma, nao poderia se igualar a I). Como cada F_n, por ser fechado, confude-se com o seu fecho, concluimos que I eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos cujos fechos tem interior vazio. Logo, I eh magro, contradizendo o fato que anteriormente demonstramos. Temos, portanto, que I nao eh F-sigma.
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