Olá Crom, Muitos livros de Matemática apresentam uma possível dedução da fórmula da soma das potências k-ésimas (k inteiro positivo) dos n primeiros inteiros positivos pelo método que você apresentou parcialmente, ou seja, usando o desenvolvimento do binômio de Newton (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o somatório com x variando de 1 até n a ambos os membros da igualdade, os termos de grau (k + 1) podem ser cancelados, com exceção de (n + 1)^(k + 1) no primeiro membro da igualdade e 1^(k + 1) = 1 no segundo membro da igualdade. Porém, para descobrir a fórmula da soma das potências k-ésimas, nós precisamos conhecer todas as fórmulas das somas das potências com expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós encontramos uma fórmula de recorrência para deduzir a soma das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros positivos, porém o processo vai ficando muito longo à medida que os expoentes vão crescendo.
A seguir, eu apresento um método que pode ser utilizado para encontrar a soma das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros positivos de forma direta. Neste método, não há a necessidade de se conhecer as fórmulas das somas das potências com expoente de 1 até (k - 1) DEDUÇÃO POSSÍVEL: Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos, então podemos concluir que: S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i) Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que na diferença S[n] - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser cancelados. Sendo assim, podemos escrever: S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d O termo independente é 0, uma vez que S[0] não possui termos. Portanto, d = 0. S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii) Substituindo a (ii) na (i): a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 - c.(n - 1) = n^2 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2 Pela identidade de polinômios, devemos ter: 3a = 1 <=> a = 1/3 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2 a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6 Substituindo a, b e c no polinômio (ii): S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6 Fatorando: S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6 S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6 S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 Para o caso particular do problema apresentado, teremos: S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385 Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho ________________________________________ From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Soma... Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2? Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito, 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1 ------------------------------------------------------ 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando convenientemente 3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha pergunta é: Existe um modo mais fácil de se achar soma de quadrados perfeitos?? Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento. Crom ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================