Oi, eu entendi... muito muito muito obrigado... Achei esse negocio muito util.. não conhecia.. Obrigado de novo..
[]'s David > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rogério Moraes > de Carvalho > Enviada em: sexta-feira, 28 de maio de 2004 16:22 > Para: [EMAIL PROTECTED] > Assunto: RE: [obm-l] Soma... > > Olá David, > > Se você considerar S[n] como um polinômio de grau k em > n (k inteiro positivo), então: > > S[n]=a[k].n^k+a[k-1].n^(k-1)+...+a[1].n+a[0], tais que a[0], > a[1], ..., a[k] são os coeficientes de S[n] e a[k]!=0. > > S[n-1]=a[k].(n-1)^k+a[k-1].(n-1)^(k-1)+...+a[1].(n-1)+a[0] > > Considerando a notação C(u, v)=u!/[v!(u-v)!], com u e v > inteiros não negativos e u >= v, e aplicando o > desenvolvimento do binômio de Newton nas expressões (n-1)^p, > com p pertencente a {1, 2, ..., k}, teremos: > > S[n]-S[n-1] = {a[k]-C(k,0).a[k]}.n^k + > {a[k-1]+C(k,1).a[k]-C(k-1,0).a[k-1]}.n^(k-1) + ... > S[n]-S[n-1] = {a[k]-a[k]}.n^k + {a[k-1]+k.a[k]-a[k-1]}.n^(k-1) + ... > S[n]-S[n-1] = k.a[k].n^(k-1) + ... > > Como, por hipótese, k é inteiro positivo e a[k]!=0, então > k.a[k]!=0. Sendo > assim: grau{S[n]-S[n-1]} = k-1 (i) > Como: S[n]-S[n-1]=n^2 => grau{S[n]-S[n-1]} = 2 (ii) > > Por (i) e (ii): k-1 = 2 <=> k = 3 > > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of David M. Cardoso > Sent: quarta-feira, 26 de maio de 2004 20:49 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: RES: [obm-l] Soma... > > > Extraindo dessa mensagem essa parte: > > > Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos quadrados dos n > > primeiros inteiros positivos, então podemos concluir que: > > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i) > > > > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que > na diferença > > S[n] > > - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser > cancelados. > > Não entendi pq o dá pra inferir que o grau do polinomio é 3... > Será alguem pode explicar isso? > > > > -----Mensagem original----- > > De: [EMAIL PROTECTED] > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rogério Moraes de > > Carvalho Enviada em: quarta-feira, 19 de maio de 2004 10:25 > > Para: [EMAIL PROTECTED] > > Assunto: RE: [obm-l] Soma... > > > > Olá Crom, > > > > Muitos livros de Matemática apresentam uma possível dedução da > > fórmula da soma das potências k-ésimas (k inteiro > > positivo) dos n primeiros inteiros positivos pelo método que você > > apresentou parcialmente, ou seja, usando o desenvolvimento > do binômio > > de Newton (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o somatório com x > variando de 1 > > até n a ambos os membros da igualdade, os termos de grau (k > + 1) podem > > ser cancelados, com exceção de (n + 1)^(k + 1) no primeiro > membro da > > igualdade e 1^(k + 1) = 1 no segundo membro da igualdade. > > Porém, para descobrir a fórmula da soma das potências k-ésimas, nós > > precisamos conhecer todas as fórmulas das somas das potências com > > expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós encontramos uma > fórmula de > > recorrência para deduzir a soma das potências k-ésimas dos > n primeiros > > inteiros positivos, porém o processo vai ficando muito > longo à medida > > que os expoentes vão crescendo. > > > > A seguir, eu apresento um método que pode ser utilizado para > > encontrar a soma das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros > > positivos de forma direta. Neste método, não há a necessidade de se > > conhecer as fórmulas das somas das potências com expoente > de 1 até (k > > - 1) > > > > > > DEDUÇÃO POSSÍVEL: > > > > Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos quadrados dos n > > primeiros inteiros positivos, então podemos concluir que: > > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i) > > > > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que > na diferença > > S[n] > > - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser > cancelados. > > Sendo assim, podemos escrever: > > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d > > O termo independente é 0, uma vez que S[0] não possui termos. > > Portanto, d = 0. > > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii) > > > > Substituindo a (ii) na (i): > > a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 - c.(n - 1) = n^2 > > 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2 > > 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2 > > > > Pela identidade de polinômios, devemos ter: > > 3a = 1 <=> a = 1/3 > > 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2 a - b + c = 0 <=> > 1/3 - 1/2 + c > > = 0 <=> c = 1/6 > > > > Substituindo a, b e c no polinômio (ii): > > S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6 > > > > Fatorando: > > S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6 > > S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6 > > > > S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 > > > > Para o caso particular do problema apresentado, teremos: > > S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385 > > > > > > Atenciosamente, > > > > Rogério Moraes de Carvalho > > ________________________________________ > > From: [EMAIL PROTECTED] > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of > [EMAIL PROTECTED] > > Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21 > > To: [EMAIL PROTECTED] > > Subject: [obm-l] Soma... > > > > Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2? > > Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito, > > 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1 > > 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1 > > ------------------------------------------------------ > > 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando > > convenientemente 3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha > pergunta > > é: Existe um modo mais fácil de se achar soma de quadrados > perfeitos?? > > Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento. > > Crom > > > > > > > > ============================================================== > > =========== > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ============================================================== > > =========== > > > > > ============================================================== > =========== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ============================================================== > =========== > > > > ============================================================== > =========== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ============================================================== > =========== > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================