Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_fun��o_de_classe_C^1

[Lista OBM]

Meu caro Cl�udio,

achei muito legal a forma com que voc� resolveu o problema, mas n�o consegui enteder o por qu� de definir inicialmente f(0) = 0. Al�m disso, n�o consegui enteder tamb�m sua conclus�o, ou seja, dada f:[a,b] -> R de classe C^1, basta considerarmos a fun��o:

F:[0,1] -> R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, reca�mos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g � n�o crescente e r � n�o decrescente.

 

OBS.: Ao inv�s de definir h(x) = (M+1)x n�o seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim ter�amos h n�o descrescente e, consequentemente, k n�o cresecente, como pedido no problema. Isso foi s� uma pergunta!!!, n�o sei se estou certo.

Cl�udio_(Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Interessante esse problema!

 

Suponhamos, inicialmente, que o intervalo � [0,1] e que f(0) = 0.

 

Como f ï¿½ C^1 em [0,1], f' existe e � cont�nua em [0,1].

Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]).

Ent�o g tamb�m � cont�nua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor m�ximo, igual a M, nesse intervalo.

� claro que M >= 0.

 

Seja h:[0,1] -> R dada por:

h(x) = (M+1)x.

h � claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0.

 

Seja k:[0,1] -> R dada por:

k(x) = f(x) - (M+1)x.

k eh de classe C^1 e k(0) = 0.

Al�m disso, para todo x em [0,1],

k'(x) = f'(x) - (M+1) <= |f'(x)| - (M+1) < 0.

Logo, k eh decrescente em [0,1].

 

� claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x).

 

Ou seja, o resultado est� provado para uma fun�ao definida em [0,1] com f(0) = 0.

 

A generaliza��o para o caso geral � f�cil.

Se f:[a,b] -> R � de classe C^1, basta considerar a fun��o:

F:[0,1] -> R dada por:

F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)

que voc� recai no caso provado acima.

� claro que F � de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0.

 

[]s,

Claudio.

----- Original Message -----

From: Lista OBM

To: [EMAIL PROTECTED]

Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM

Subject: [obm-l] fun��o de classe C^1

Gostaria de saber se algu�m poderia me ajudar com o seguite problema:

 

Mostre que se f: [a,b] --> � de classe C^1, ent�o f pode escrita como a soma de uma fun��o n�o crescente com uma uma fun��o n�o decrescente.

>

 

 

Grato, �der.

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