Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_fun��o_de_classe_C^1

Tue, 01 Jun 2004 09:46:57 -0700

Ao definir f(0)=0, a generalidade nao se perde pois o desenho de y=f(x) e igual ao desenho de y-a=f(x-b). Tudo nao passa de uma transla�ao de eixos.

Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Meu caro Cl�udio,
achei muito legal a forma com que voc� resolveu o problema, mas n�o consegui enteder o por qu� de definir inicialmente f(0) = 0. Al�m disso, n�o consegui enteder tamb�m sua conclus�o, ou seja, dada f:[a,b] -> R de classe C^1, basta considerarmos a fun��o:
F:[0,1] -> R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, reca�mos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g � n�o crescente e r � n�o decrescente.
 
OBS.: Ao inv�s de definir h(x) = (M+1)x n�o seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim ter�amos h n�o descrescente e, consequentemente, k n�o cresecente, como pedido no problema. Isso foi s� uma pergunta!!!, n�o sei se estou certo.


Cl�udio_(Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Interessante esse problema!
 
Suponhamos, inicialmente, que o intervalo � [0,1] e que f(0) = 0.
 
Como f ï¿½ C^1 em [0,1], f' existe e � cont�nua em [0,1].
Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]).
Ent�o g tamb�m � cont�nua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor m�ximo, igual a M, nesse intervalo.
� claro que M >= 0.
 
Seja h:[0,1] -> R dada por:
h(x) = (M+1)x.
h � claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0.
 
Seja k:[0,1] -> R dada por:
k(x) = f(x) - (M+1)x.
k eh de classe C^1 e k(0) = 0.
Al�m disso, para todo x em [0,1],
k'(x) = f'(x) - (M+1) <= |f'(x)| - (M+1) < 0.
Logo, k eh decrescente em [0,1].
 
� claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x).
 
Ou seja, o resultado est� provado para uma fun�ao definida em [0,1] com f(0) = 0.
 
A generaliza��o para o caso geral � f�cil.
Se f:[a,b] -> R � de classe C^1, basta considerar a fun��o:
F:[0,1] -> R dada por:
F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)
que voc� recai no caso provado acima.
� claro que F � de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0.
 
[]s,
Claudio.
----- Original Message -----
From: Lista OBM
Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM
Subject: [obm-l] fun��o de classe C^1

Gostaria de saber se algu�m poderia me ajudar com o seguite problema:
 
Mostre que se f: [a,b] --> � de classe C^1, ent�o f pode escrita como a soma de uma fun��o n�o crescente com uma uma fun��o n�o decrescente.
>
 
 
Grato, �der.


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