Bruno Fran�a dos Reis wrote:
Definindo os eixos como vc definiu as equa��es das duas curvas ser�o y = sqrt(a^2/4-x^2) e y = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2). (considerando apenas a regi�o acima do eixo, ie, onde y>0). A �rea entre 2 curvas � a integral da diferen�a entre as duas fun��es, ie, integral de sqrt(a^2/4-x^2) - sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2). Integrando apenas o lado direito e depois multiplicando por 2 (pq a fun��o � par, ie, f(-x) = f(x)), temos q os limites de integra��o ser�o 0 e a coordenada x do ponto onde as curvas se interceptam (que N�O � a/2), e vale a*sqrt(2)/8 (para encontrar esse valor fa�a sqrt(a^2/4-x^2) = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2)) . Ent�o a �rea � 2* (integral de sqrt(a^2/4-x^2) - sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2)), onde a integral � definida de 0 a a*sqrt(2)/8.-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1
Ola
Como j� disse, estou no 3o. ano, entao NAO aprendi c�lculo integral "oficialmente"... J� li sobre em v�rios livros, entre eles Fundamentos de Matematica Elementar, do Iezzi.
Um problema que um amigo meu me havia proposto e que n�o sei se cheguei na resposta (ele tb nao sabe a resposta) era o seguinte:
Tem uma figura com uma �rea hachurada, devemos calcular o valor dessa �rea. Tentarei descrever a figura:
Um quadrado de lado "a". Com o compasso no v�rtice inferior esquerdo, tra�a-se um quarto de circunfer�ncia (C1) (interno ao quadrado), de raio "a" tamb�m. Com o compasso no centro do quadrado, tra�a-se uma circunfer�ncia (C2) de raio "a"/2.
Hachura-se a intersec��o de C2 com a parte externa de C1.
qual a �rea em funcao de "a"?
fiz o seguinte:
um par de eixos sendo o eixo x coincidente com a diagonal do quadrado sup.esq.-inf.dir. O eixo y seria a outra diagonal do quadrado, de forma que h� simetria. Calculei a equa��o das circunfer�ncia e fiz uma integral definida de -a/2 at� a/2, subtra� o que sobrava do quadrado e da outra circunfer�ncia, e meu Maple disse algo que tenho medo de colar aqui. Era horr�vel! Tinha, se nao me engano, sqrt(-i)... coisas horriveis! muito, muito feio... nao sei como pode uma simples �rea ter dado uma resposta tao grande e feia.
� pra ser isso mesmo? errei em c�lculos? tem outro jeito de fazer?
at�
bruno
- -- Bruno Fran�a dos Reis
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O valor da integral � a^2/64*(8arcsen(sqrt(2)/4) - 32arcsen(sqrt(2)/8) - 8 + sqrt(31)-sqrt(7)) = 0,0356591*a^2 (aproximadamente), logo o valor da �rea � o dobro e vale portanto aproximadamente 0,071*a^2.
Se n�o errei em nenhum calculo deve ser isso.... tentei explicar o melhor possivel porque vc disse q n�o aprendera (oficialmente) calculo, mas n�o sei se deu pra entender...
Rafael ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
