Oi, Domingos:
Serah que nao tem uma demonstracao mais elementar disso?
Por exemplo, baseada no fato de que sen(2x) eh concava no intervalo (0,Pi/2).
Podemos supor que os angulos sao tais que 0 < x1 <= x2 <= ... <= xn < Pi/2.
Assim, se x1 < xn, entao sen(2*(x1 + xn)/2) > (sen(2*x1) + sen(2*xn))/2, de modo que substituindo x1 e xn por (x1+xn)/2 e (x1+xn)/2, obteremos um valor maior para:
SOMA(1<=k<=n) sen(2*xk), o que prova que a soma maxima ocorre quando os angulos sao todos iguais.
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [EMAIL PROTECTED] |
| C�pia: |
| Data: | Sat, 03 Jul 2004 08:28:23 -0300 |
| Assunto: | Re: [obm-l] �rea m�xima |
> > Gostaria de saber como fa�o pra achar o tri�ngulo de �rea m�xima inscrito numa
> > circunfer�ncia. � o eq�il�tero? E o pol�gono de n lados com �rea m�xima e inscrito
> > numa � sempre o pol�gono regular de n lados? Obrigado
>
>
> Vamos ver se eu fa�o essa (nem sou mto forte em geometria, hehehe).
> Se tivermos um pol�gono inscrito numa circ., podemos tra�ar linhas a
> partir do centro at� os v�rtices (essas linhas podem ser degeneradas e
> coincidir com um lado do pol�gono).
>
> Sejam ent�o 2a_1, 2a_2, ..., 2a_k os k �ngulos formados pelos tri�ngulos
> que consistem em um lado do pol�gono inscrito e dois lados s�o raios da
> circ.
>
> Se a circ. tem raio 1, um pouco de trigonometria nos diz que a �rea do
> i-�simo tri�ngulo � dada por sen(a_1)cos(a_1) = sen(2a_1)/2.
>
> Ent�o temos a fun��o f(a_1, ..., a_k) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i).
> Desejamos maximizar f sujeito a restri��o soma_{i=1}^k a_i = PI.
>
> Utilizando Lagrange, temos a miss�o de maximizar
> L(.) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i) - p[soma_{i=1}^k a_i]
>
> del L / del a_i = cos(2a_i) - p
> logo del L / del a_i = 0 <=> p = cos(2a_i)
> como isso vale para todo i, temos que p = cos(2a_1) = ... = cos(2a_k)
> como 2a_i <= pi , a_1 = a_2 = ... = a_k, logo o pol�gono � regular.
>
> acho que � isso!
>
> [ ]'s
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
