Considere o quadrado ABCD e tome P no seu interior e trace PA, PB e PC. Construa agora um quadrado que tenha BP como lado e que esteja contido no semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o vértice mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade, vamos supor que tal ponto é C (mesmo que PA = PC). Seja BEFP esse quadrado.
Repare que a diagonal PE mede exatamente PB*sqrt(2). Ora, os segmentos PC, CE e PE obedecem a desigualdade triangular, e temos PC + CE >= PE. Resta mostrar que CE == AP. Isso é fácil. Repare que BC == AB (lados do quadrado ABCD) e que BE == BP (lados do quadrado BEFP). Ainda, os ângulos ABP e BCE são congruentes, pois ABP = ABE - PBE = ABE - 90 = ABE - ABC = BCE. Logo, os triângulos APB e BCE são congruentes, e por isso AP = CE. Assim, PC + CE = PC + PA >= PE = PB*sqrt(2). []s, Daniel Guilherme ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Olá, pessoal, > >Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria PA >+ PC >= sqrt(2).PB > >-----Mensagem original----- >De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em >nome de Guilherme >Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14 >Para: [EMAIL PROTECTED] >Assunto: [obm-l] Geometria plana > > >Olá, pessoal! > >Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O concurso >já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para saber como >resolvê-lo: > >ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as >distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC >= PB (maior ou >igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao quadrado. >A inequação é válida para todos os pontos P no plano). > >Agradeço a ajuda. > >Um grande abraço, > >Guilherme Marques. > > > >======================================================================== >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >======================================================================== >= > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================