Chicao Valadares wrote:
Você leu tudo? O caso em que o elemento é um quadrado é trivial, o outro caso tá demonstrado.Só, um detalhe:Vc provou que todo quadrado é uma soma de quadrados mas o que a questao pede é que todo elemento(quadrado ou nao) é soma de quadrados.
[]´s
A única afirmação que eu joguei sem demonstrar é que o produto de dois não-quadrados é um quadrado, mas era pra vc pensar um pouco...
A idéia é bem simples: seja y um elemento de K que não é quadrado.
Considere o mapa x -> y*x.
Como x^2 -> y*x^2 e y*x^2 não é quadrado, temos que este mapa leva quadrados em não-quadrados e 0 em 0, para onde devem ir os não quadrados? claramente, por um argumento de contagem vemos que todos os não-quadrados devem ser levados em quadrados, ok?
Ok, agora com um simples argumento você verifica que para um elemento a fixo, a^2 + b^2, com b em K* pode assumir (q-1)/2 valores distintos (e nenhum deles é a^2), como há exatamente (q-1)/2 quadrados e a^2 está de fora, é evidente que existe um elemento não-quadrado w = a^2 + b^2 para algum valor de b.
Sendo assim, tome um y não quadrado, sabemos que w^(-1) é não-quadrado e, como já provamos, y*w^(-1) = x^2 para algum x e, portanto,
y = x^2 * w, mas isso mata o problema, pois w é soma de quadrados, mais especificamente
y = x^2(a^2 + b^2) = (ax)^2 + (bx)^2.
Espero que tenha sido claro!
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