Acho que o grande problema da matem�tica � que, �s vezes, nos prendemos muito �s teorias e defini��es, esquecendo �s vezes das utilidades pr�ticas ou dos motivos pelos quais estamos estudando determinado t�pico.
Eu, particularmente na minha modesta opini�o, sempre encarei o conjunto N como fun��o b�sica para a contagem. Por exemplo, no dia a dia, a pergunta "Quantas pedras existem nesta caixa", um leigo, sem ao menos saber, utiliza o conjunto N como resposta. Um conjunto de vari�veis discretas, "palp�vel". "Nesta caixa existem 2 pedras" "Nesta caixa existem 10 pedras" Ou ent�o, perfeitamente poss�vel... "Nesta caixa n�o existe nenhuma pedra" Mesmo relacionando � "hist�ria da pedrinha com carneirinhos", ou seja, uma pedrinha para cada carneirinho, o zero ERA utilizado, mesmo que n�o se entendesse na �poca. Uma pedrinha para cada carneirinho... Quando as pedrinhas acabavam, quantos carneirinho existiam? Enfim, se for para votar, concordo com o Nicolau. -----Original Message----- From: Nicolau C. Saldanha [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 14, 2004 10:00 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] 0 � natural? (era: Quest�o_4) On Mon, Sep 13, 2004 at 09:32:43PM -0300, Douglas Drumond wrote: > N�o quero botar lenha na fogueira, mas dois racioc�nios que nos > levam a excluir o 0 dos naturais: Acho que o tema � leg�timo, mas eternamente inconclusivo, poder�amos falar sobre ele por tempo indeterminado. Ali�s h� v�rias mensagens relacionadas nos arquivos. Vou comentar os seus dois itens trocando a ordem: > - agora um mais matem�tico: nos axiomas de Peano, define-se o 1 (o um > existe). Para obter um sucessor de um n�merio natural, adiciona-se 1 a > ele. Ent�o, se o 1 est� definido, podemos adicionar 1 ao 1 p/ obter 2 > e assim por diante. Agora se os naturais come�am do 0, para obter o > sucessor de 0, adiciona-se 1. Mas o 1 n�o foi definido (nesse caso, > assumimos o 0 como in�cio e n�o definimos o 1), ent�o n�o podemos > adicionar 1 a ningu�m. De fato Peano � um dos maiores respons�veis pela confus�o de 0 ser ou n�o natural: em ocasi�es diferentes ele usou as duas conven��es diferentes! A sua forma de descrever a constru��o de Peano n�o � a usual. Normalmente, a fun��o sucessor � considerada mais b�sica do que a soma ent�o o seu racioc�nio n�o se aplica. Acho um pouco artificial supor que no in�cio a soma j� existe mas os n�meros ainda n�o. A constru��o dos naturais em teoria dos conjuntos, por outro lado, come�a com 0 = {} e continua com 1 = {{}}, 2 = {{},{{}}}, ... > - vc aprende a contar a partir do 1, a hist�ria da pedrinha com > carneirinhos come�a do um (n�o havia a pedra zero), logo o > modo natural de contar come�a do um. Esse n�o � um racioc�nio > matem�tico, mas ajuda a memorizar que devemos iniciar a partir do 1. Por outro lado, nada impede de chamarmos os tr�s porquinhos de P0, P1 e P2. O que eu acho que voc� deve estar dizendo � que de fato na hist�ria o n�mero 0 aparece muito depois de 1, 2, 3. � fato, mas tamb�m � fato que 1 aparece depois de 2 e 3, e n�o antes. Mesmo em Euclides o n�mero 1 recebe um tratamento especial que para n�s parece desnecess�rio. Finalmente, n�o se trata de "memorizar" nada. Estamos, espero, discutindo uma das duas quest�es abaixo: (a) Existe uma conven��o razoavelmente ampla quanto a se N = {0, 1, 2,...} ou se N = {1, 2, 3, ...}? Acho que a resposta � claramente N�O. Em particular, ao redigir uma prova acho que nunca devemos dizer "naturais" sem especificar qual das duas defini��es temos em mente. O melhor mesmo � falar de inteiros positivos ou inteiros n�o negativos. Em algumas �reas, por outro lado, os matem�ticos parecem ter chegado a um certo consenso. Em livros de teoria dos conjuntos, por exemplo, acho que � bem universal que 0 � natural. (b) Qual dos dois conjuntos {0, 1, 2, ...} ou {1, 2, 3, ...} merece ganhar o nome de N, o conjunto dos naturais? Aqui os argumentos s�o inconclusivos e pessoas diferentes t�m opini�es diferentes. Os dois conjuntos s�o claramente importantes. Se for para votar, eu voto em N = {0, 1, 2, ...}. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
