[obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[T�rcio Miranda]

Problema S�o dados os tri�ngulos ABC e PQR, com medianas AD e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de �ngulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR s�o semelhantes.   Fixemos o tri�ngulo ABC no seu plano. Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hip�teses nos d�o as congru�ncias dos tri�ngulos PQR e ALM (LAL). A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o qual pelas hip�teses de igualdade de �ngulos BAD=QPS e CAD=RPS, � o ponto m�dio do segmento LM. Agora, se, por absurdo, LM n�o for paralela a BC podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortar� AB e AC (semiretas) nos pontos U e V, respectivamente. Da� UMVL seria um paralelogramo! Um contradi��o. Ent�o LM � paralela a BC e os tri�ngulos ABC e ALM s�o semelhantes e temos o resultado.   Um abra�o do colega T�rcio Miranda