Tome o ponto M tal que MBC eh semelhante a PQR e M e A se encontram no mesmo semi-plano determinado por BC. Nesse caso, teremos as igualdades de angulos:
BMD = BAD e CMD = CAD.
A ideia eh provar que M e A coincidem.
Para isso, construa os arcos capazes de BAD em relacao a BD e de CAD em relacao a DC.
Por serem arcos de circunferencia, eles se intersectam em exatamente dois pontos: A e D.
Como BMD = BAD, M pertence ao primeiro arco.
Como CMD = CAD, M pertence ao segundo arco.
Logo, M = D ou M = A.
Mas M eh claramente distinto de D, pois caso contrario, o triangulo MBC (e portanto o triangulo PQR) seria degenerado.
Logo, soh pode ser M = A ==> CAD = CMD ~ PQR.
[]s,
Claudio.
on 10.10.04 19:20, T�rcio Miranda at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Problema
S�o dados os tri�ngulos ABC e PQR, com medianas AD e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
�ngulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR s�o semelhantes.
Fixemos o tri�ngulo ABC no seu plano.
Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hip�teses nos
d�o as congru�ncias dos tri�ngulos PQR e ALM (LAL).
A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o qual pelas hip�teses de igualdade de �ngulos
BAD=QPS e CAD=RPS, � o ponto m�dio do segmento LM.
Agora, se, por absurdo, LM n�o for paralela a BC podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortar� AB e AC (semiretas)
nos pontos U e V, respectivamente. Da� UMVL seria um paralelogramo! Um contradi��o.
Ent�o LM � paralela a BC e os tri�ngulos ABC e ALM s�o semelhantes e temos o resultado.
Um abra�o do colega
T�rcio Miranda
