Ola Niski e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Pelo que entendi, voce quer mostrar que C(A) e convexo ( pois e evidentemente um cone, segundo as suas definicoes ). Sem escrever, IMAGINE o seguinte :
"Como A e convexo, se eu tomar dois multiplos positivos - elementos de C(A) - de A e, a seguir, escolher um ponto do segmento que liga estes dois multiplos, entao esse ponto deve ser multiplo de algum ponto do segmento que liga os dois pontos originais de A"
De fato. Sejam "m*a" e "n*b" dois elementos de C(A), onde "a" e "b" sao elementos de A. Entao, para todo T1, 0 =< T1 =< 1, existe T2, 0 =< T2 =< 1, tal que, para algum K >= 0 teremos :
T1*m*a + (1 - T1)*n*b = K*(T2*a + (1-T2)*b)
Ou seja :
K*T2 = T1*m K - K*T2 = (1 - T1)*n
Daqui : K = T1*m + (1 -T1)*n. Claramente que K >= 0. E, alem disso : T2 = (T1*m) /[T1*m + (1 -T1)*n]. Claramente que 0 =< T2 =< 1
Isto mostra que o que sentimos estava correto. Logo, C(A) e convexo.
Claramente que podemos generalizar o raciocinio ... Sejam A e B sao dois conjuntos convexos. Seja C(A,B) o conjunto de todos os segmentos com uma extremidade em A e outra em B. Entao C(A,B) e um conjunto convexo".
Um Abracao Paulo Santa Rita 2,1048,111004
From: Fabio Niski <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Cones e conjuntos convexos. Date: Mon, 11 Oct 2004 00:24:25 -0300 MIME-Version: 1.0
Pessoal, estou com dificuldades para provar a seguinte afirmacao:
Se A é convexo, então C(A) é um cone convexo
onde a definicao de Cone que tenho é (obs: vec(x) lê-se "vetor x")
Um cone C, é um conjunto de pontos com a seguinte propriedade: Se vec(x) estiver no conjunto, u*vec(x) tb estará para todo u >= 0. e C(A) é o cone gerado pelo conjunto A, ou seja é o conjunto C(A) = {vec(y) | vec(y) = u*vec(x) , p/ todo u >=0 e todo vec(x) pert a A).
Obrigado a todos.
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